Matematické Fórum

BenJa · 09. 07. 2020 23:16

Ahoj,

nevím jestli chápu správě pojem metrický tenzor a metrika:

1) Metrický tenzor:
Je tenzor, který určuje, jaký je element délky v dané souřadnicové soustavě, platí že
$g_{ij} = e_i \cdot e_j$
kde $e_i$ a $e_j$ jsou dva bázové vektory. Potom element délky vyjádřím rovnicí:
$ds^2 = g_{ij} \cdot dx_idx_j$ (S použitím Einsteinovy sumační konvence)

2) Metrika:
Je vyjádření vzdálenosti, například:
$ds^2 = dr^2 + r \cdot d\phi^2$

Jestli to tedy dobře chápu, je metrický tenzor jen tenzorové vyjádření metriky? Dávalo by to smysl i podle názvu

A ještě jsem někde četl, že metrika může ovlivnit velikost skalárního součinu dvou vektorů podle metrické matice, což jestli dobře chápu měl být metrický tenzor
$\textbf{u} \cdot \textbf{v} = \textbf{u} \cdot g_{ij} \cdot \textbf{v} = u_ig_{ij}v_j$ ?

Omlouvám se za dlouhý text, předem děkuji za odpověď. Možná by se hodilo doporučit nějaký rozumný zdroj na toto téma, nic moc jsem nenašel.

MichalAld · 10. 07. 2020 15:44

Podle mě ... metrický tenzor je prostě hlavně ten tenzor (matice NxN s jistými speciálními vlastnostmi). Metrika je, když je v nějaké oblasti prostoru (roviny, nadprostoru...) definován ten tenzor, tedy v každém bodě prostoru známe jeho hodnotu.

Jinak bych řekl, že žádný velký rozdíl mezi tím není...podle mě nemůže být podstatné jestli výraz pro ds napíšeme ve formě tenzorového násobení, nebo to rozepíšeme na jeden řádek.

Pokud jde o ty vektory a jejich skalární součin ... trik je právě v tom, že skalární součin dvou vektorů musí vyjít vždy stejný (nezávisle na tom, jaké používáme souřadnice). Takže právě ten metrický tenzor ve skalárním součinu nám zajišťuje, aby vyšlo vždy to stejné.

Jinak je to s těmi vektory v křivočarých souřadnicích ale dost složité ... když si představíš vektor v každém bodě prostoru (nebo roviny, to bude as pro začátek lepší) - tedy celé 2D vektorové pole ... tak musíš mít taky v každém bodě lokální souřadný sysém pro popis toho vektoru. Samozřejmě - v kartézských souřadnicích jsou všechny ty souřadné soustavy stejné, všem míří osy x a y stejným směrem a svírají stejný (pravý) úhel ... takže se tím vlastně ani nemusíme moc zabývat.

Pokud si ovšem chceme vektory popisovat třeba v polárních souřadnicích, musíme také pro vektory používat souřadný systém odvozený z těch polárních souřadnic. "Kříž" toho souřadného systému jsou tečny na ty souřadnice. A ty jsou samozřejmě v každém bodě jinak natočené, svírají jiný úhel a mají obecně i jiné měřítko.

Takže i když jsme předtím měli vektory které byly v celé ploše konstantní (mířily stejným směrem) - tak v polárních souřadnicích už konstantní nebudou ... né proto, že se mění ty vektory, ale že se mění ten bázový systém, ve kterém je vyjadřujeme.

Ale skalární součin dvou vektorů (dvou vektorových polí) musí vyjít vždy stejný...jsou to pořád ty samé vektory (třeba E a B el. mag. pole), jen jsme použili jiné souřadnice. Ale skalární součin je číslo, to musí být vždy stejné. Zatímco souřadnice vektorů budou v různých souřadných soustavách různé, skaláry musejí zůstat stejné.

BenJa · 10. 07. 2020 17:56

↑ MichalAld:

Děkuju za odpověď, teď už tomu rozumím. Zase zjišťuji, že se toho mám ještě hodně co učit, o tom jak vypadají vektory v jiných souřadnicových systémech jsem ještě vůbec nepřemýšlel : D

Matematické Fórum

#1 09. 07. 2020 23:16

Metriky a metrické tenzory

#2 10. 07. 2020 15:44

Re: Metriky a metrické tenzory

#3 10. 07. 2020 17:56

Re: Metriky a metrické tenzory

Zápatí