Matematické Fórum

Do této zprávy budu zapisovat průběžné výsledky, protože hlavní téma má prý omezenou možnost editace.
Označme jako lineární obal množiny M, tj. nejmenší podprostor obsahující M. Jako označme lineární obal množiny . Pro a,b,.. vektory označme Jako lineární obal množiny {a,b,..}.


1) jsou invariantní podprostory
2) Jsou-li P,Q invariantní prostory, pak i <P,Q> je invariantní podprostor. Tedy pomocí tohoto bodu lze generovat další invariantní podprostory z již sestrojených. Toto nebudu explicitně uvádět. Ale poté co nalezneme všechny "elementární" invariantní podprostory, tak apliakcí tohoto bodu (i opakovaně) získáme další.
3) Lze sestrojit dvě lineární kombinace vektorů , a získat tak dva reálné vektory, označme je , . Potom je invariantní podprostor. (Viz laszky #3.)


Otevřené body:
1) Lze nějak využít násobnost vlastního čísla ke konstrukci dalších invariantních podprostorů?
2) Lze kombinovat vlastní vektory , a získat pomocí nich další invariantní podprostor?

Ahoj ↑ check_drummer:,
Zda sa mi, ze uplne vseobecne mame tieto vlasnosti. 
Mnozina vsetkych podpriestorov daneho vektoroveho priestoru je Svaz ( pozri  na  wikipediu po fr treillis ; po angl lattice). 
A take ista vlasnost plati pre stabilne podpriestory.

↑ check_drummer:,↑ laszky:,
Pozdravujem,
Oznacme vektorovy priestor na ktorom pracujeme E.
Uvazujme komlexnu  vlastnu hodnotu endomorfismu u.
Ak tak mame stabilny priamku .
Tak predpokladajme, ze je komplexne non realne a ze vyberieme taku bazu priestoru E, ze u moze byt reprezentovane realnou maticou A a pracujme z vektormy v .
Nech je vlastny vektor matice A pre vlastnu hodnotu.  . (a,b realne). 
Akoze A je realna, mozme odddelit realnu a imaginarnu cast v kde :
.
Ak su kolinearne, tak , Su vlastne vektory matice a by bol realny ...co je spor. 
Tak , generuju stabilnu rovinu pre .

Ahoj, z čeho plyne prosím toto:

vanok napsal(a):

Ak su kolinearne, tak , Su vlastne vektory matice a by bol realny.

↑ check_drummer:,
Co sa tyka #5, lahko najdes priklady kde plati
( napr projekcie ....)

↑ vanok:
To ano, ale já jsem potom psal, že by asi stačilo uvažovat případy, kdy A je regulární.

Pozdravujem ↑ check_drummer:,
Tato veta je znama:
Nech a su endomorfismy priestoru take ze ( cize komutuju) potom jadro a obraz endomorfismu v (Ker(v); Im(v)  ) su stabilne pre u.
Iste vidis ako to dokazat.

Dalsia vlasnost, dana ako cvicenie. 
Najprv jedna definicia.

Def. Podpriestor stable E jedneho endomorfismu sa vola ireduktibilny, ak jeho jediinnne stabilne podpriestory su E a {0}. 

Cvicenie. 
Nech E=R3 a (e1;e2;e3)  jedna baza.
Nech je dany endomorfismus u, taky, ze
u(e1) = e2; u(e2) = e3 ;u(e3) = e(1).

Urcite . Vyuzite to na najdenie jeho  jedinneho stabilneho podpriestoru dimensie 1. 

Ukazte,  ze u ma jedinny stabilny podpriestor dimenzie 2, ktory je irreduktibiny.

Cvicenie z #18.  (Prva cast)
Vidime, endomorfismus u realizuje cyclicku permutaciu na (e1;e2;e3) a tak .
Kazdy stabilny podpriestor dimezii 1, je vlastny podpriestor.  Ak nenulove je v takom podpriestore, tak , co da . 
Tu pracujeme v R, co da .
A tak najprv hladajme pevne vektoru pre a tak vidime, ze stabilny podpriestor  endomorfismu dimenzie 1 je .
( tuto poslednu cast nechame ukazat, podrobne, citatelom).

↑ vanok:,
Cvicenie z #18, doplnok.
Najprv konstatujeme, enomorfismus u, redukovany na   oznaceny je taky, ze pochopitelne su linearne zavisle    a najdime relaciu tejto zavislosti. 
Pre vektor mame a . Co da ako aj
( vlastne sme vybrali generator polynomov z hlavovym koeficintom 1 ktory generuje vsetki polynomy anulatory, ktory sa vola minimalny polynom).

Navod na riesenie vlasnosti A) z #23.

Staci konstatovat, ze da .