Matematické Fórum

Roscelinius · 27. 08. 2020 21:11

Dobrý den,
řeším Laplaceovu rovnici ale nevychází mi a proto bych Vás chtěl poprosit o překontrolování rozvoje hustoty náboje do Fouriera.

Hustota náboje $\sigma (r,\varphi)$ nabívá hodnot :
$\sigma _{0}, \frac{3}{2}\pi <\varphi \le 2\pi , 0\le \varphi <\frac{1}{2}\pi$
$-\sigma _{0}, \frac{1}{2}\pi <\varphi <\frac{3}{2}\pi$

Součet řady v bodech nespojitosti: nulový protože $\sigma _{0}$ a $-\sigma _{0}$ se vyruší.
jedná se o sudou funkci budou tedy jen členy s cosiny:

$a_{0}=\frac{4}{\pi }\int_{\frac{3}{2}\pi}^{2\pi }\sigma _{0} d\varphi + \frac{4}{\pi }\int_{0}^{\frac{1}{2}\pi}\sigma _{0}d\varphi + \frac{2}{\pi }\int_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi}(-\sigma _{0}) d\varphi= 2\sigma _{0}$

$a_{k}=\frac{4}{\pi }\int_{\frac{3}{2}\pi}^{2\pi }\sigma _{0} cos(k\varphi )d\varphi + \frac{4}{\pi }\int_{0}^{\frac{1}{2}\pi}\sigma _{0}cos(k\varphi )d\varphi + \frac{2}{\pi }\int_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi}(-\sigma _{0}) cos(k\varphi )d\varphi=$

$=\frac{2\sigma _{0}}{k\pi }(2\sin (k2\pi)-2\sin (k\frac{3}{2 }\pi )+ 2\sin (k\frac{1}{2 }\pi )-2\sin(0) - \sin (k\frac{3}{2 }\pi )+\sin (k\frac{1}{2 }\pi ))=$

$=\frac{2\sigma _{0}}{k\pi }(3\sin (k\frac{1}{2 }\pi )- 3\sin (k\frac{3}{2 }\pi ))$

Jelikož s k=1,2,3,4,5,.. $3\sin (k\frac{1}{2 }\pi )$ nabývá hodnot 3,0,-3,0,3,.. a $3\sin (k\frac{3}{2 }\pi )$ hodnot -3,0,3,0,-3,..
nabývá tedy jejich rozdíl 6,0,-6,0,6,.. což střídá stejně znaménka jako $\sin (k\frac{1}{2 }\pi )$ , tedy:
$a_{k}=\frac{12\sigma _{0}}{k\pi } \sin(k\frac{1}{2 }\pi )$

pak
$\sigma (r,\varphi) \sim 2\sigma _{0} + \sum_{k=1}^{n}\frac{12\sigma _{0}}{k\pi } \sin(k\frac{1}{2 }\pi ) \cos(k\varphi )$

Dlouho jsem rozvoje nedělal, tak budu moc vděčný když mi najdete chyby.
Díky
Petr

Brano · 29. 08. 2020 11:02

tie koeficienty pred integralmi mas nespravne

$a_{0}=\frac{4}{\pi }\int_{\frac{3}{2}\pi}^{2\pi }\sigma _{0} d\varphi + \frac{4}{\pi }\int_{0}^{\frac{1}{2}\pi}\sigma _{0}d\varphi + \frac{2}{\pi }\int_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi}(-\sigma _{0}) d\varphi= 2\sigma _{0}$

ked robis rozvoj na intervale $(0,2\pi)$ tak pred integralom mas mat $\frac{2}{2\pi}\int\ldots=\frac{1}{\pi}\int\ldots$
ten itegral potom mozes rozit na tri kusky ako to robis, ale vsade ostane $\frac{1}{\pi}$

Roscelinius · 29. 08. 2020 17:47

↑ Brano: Díky za odpověď. Není to tedy tak, že když rozdělím integrační obor tak musím upravit i koeficient před integrálem? myslel jsem, ta pulperioda se vztahuje ke konkrétnímu integrálu části integračního oboru a jeho půl periodě a ne k celému integračnímu oboru na kterém rozvoj provádím. díky za odpověď

Roscelinius · 29. 08. 2020 20:45

Pro jistotu: Takto je to tedy správně?

$a_{0}=\frac{1}{\pi } ( \int_{\frac{3}{2}\pi}^{2\pi }\sigma _{0} d\varphi + \int_{0}^{\frac{1}{2}\pi}\sigma _{0}d\varphi + \int_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi}(-\sigma _{0}) d\varphi)= 0$

$a_{k}=\frac{1}{\pi }\int_{\frac{3}{2}\pi}^{2\pi }\sigma _{0} cos(k\varphi )d\varphi + \frac{1}{\pi }\int_{0}^{\frac{1}{2}\pi}\sigma _{0}cos(k\varphi )d\varphi + \frac{1}{\pi }\int_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi}(-\sigma _{0}) cos(k\varphi )d\varphi=$

$=\frac{\sigma _{0}}{k\pi }(\sin (k2\pi)-\sin (k\frac{3}{2 }\pi )+ \sin (k\frac{1}{2 }\pi )-\sin(0) - \sin (k\frac{3}{2 }\pi )+\sin (k\frac{1}{2 }\pi ))=$

$=\frac{\sigma _{0}}{k\pi }(2\sin (k\frac{1}{2 }\pi )- 2\sin (k\frac{3}{2 }\pi ))$

$a_{k}=\frac{4\sigma _{0}}{k\pi } \sin(k\frac{1}{2 }\pi )$

pak
$\sigma (r,\varphi) \sim \sum_{k=1}^{n}\frac{4\sigma _{0}}{k\pi } \sin(k\frac{1}{2 }\pi ) \cos(k\varphi )$
Díky
ps: ty první dva integrály jsem mohl beztrestně spojit do jednoho, že?