Matematické Fórum

2M70 · 08. 10. 2020 14:15

Zdravím,

mohu poprosit o pomoc s tímhle příkladem?

Pro všechny funkce y = y(x) patřící do prostoru C^{1}([0,1])

spočtěte Fréchetův diferenciál funkcionálu

$\Phi (y)=$

$\int_{0}^{1}x^{2}(y^{4}-(y')^{2}) dx$

Pomůcka:

Spočtěte $\delta \Phi (y)(h)$ = Gateaux diferenciál $\Phi (y)$ ve směru

$h\in C^{1_{}}_{0}([0,1])$

a ověřte, že splnňuje definici

$\lim_{||h||\to0}\frac{\Phi (y+h)-\Phi (y)-\delta\Phi (y)(h) }{||h||} = 0$

kde pro každou funkci $(y\sim)\in C^{1}([0,1])$

je definována

$||y\sim || = ||y\sim ||_{C^{1}([0,1]) }:=max_{x\in [0,1]}(|y\sim (x)|+|y'\sim (x)|$

(ta $y\sim$ znamenají ypsilon s vlnkou nahoře)

Tolik zadání.

A řešení - dostal jsem se pouze k výsledku, že Gateaux diferenciál funkcionálu je

$\delta \Phi (y)(h)=4yh-2y'h'$

Gateaux jsem počítal standardním způsobem, tedy k ypsilonům připočíst "th", zderivovat podle "t" a položit "t" nule. Tímto způsobem mi vyšlo tohle.

Ale nevím jak na ten Fréchetův diferenciál.

Může někdo poradit? Uvítám jakýkoli nápad.

2M70 · 08. 10. 2020 16:32

Nápad:

Ta Gateaux derivace má být správně $4hx^{2}y^{3}-2x^{2}h'y'$

a

$\Phi (y+h)-\Phi (y)-\delta\Phi (y)(h)$ =

$\int_{0}^{1}[x^{2}((y+h)^{4}-(y'+h')^{2}]dx -$
$-\int_{0}^{1}[x^{2}(y^{4}-(y')^{2})]dx -$
$-\int_{0}^{1}[4hx^{2}y^{3}-2x^{2}h'y']dx$

Po roznásobení a "požrání se" některých členů v integrandu zbyde:

$\int_{0}^{1}[x^{2}(4yh^{3}+6y^{2}h^{2}+h^{4}-(h')^{2})]dx$

Ještě bude ale potřeba dlouhá cesta k cíli :-(

Matematické Fórum

#1 08. 10. 2020 14:15

Fréchetův diferenciál

#2 08. 10. 2020 16:32

Re: Fréchetův diferenciál

Zápatí