Matematické Fórum

Malefic · 09. 10. 2020 11:12

Dobrý den,
mohla bych vás poprosit o radu, nasměrování nebo meněí pomoc s následujícím příkladem

Příkad má zadání
Najdětě matici $A^{100}$
kde
$A=\begin{pmatrix} 5 & 1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

To by mne vedlo na algoritmus pro nalezení diagonálního tvaru $A^{100}=(P*D*P^{-1})^{100}$
tzn.
1/ Kořeny charakteristického polynomu jsou $\lambda_{1,2}=4$
2 diagonalni matice D bude tedy ve tvaru
$D=\begin{pmatrix} 4& 0\\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

2/ po dosazení $\lambda_{1,2}=4$ do $(A-\lambda E)$ obdržím dvakrát stejnou matici
$\begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & -1 \end{pmatrix}$

3/ ke každému $\lambda _{i}$ najdu vlastní vektory v1 a v2
$\begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$
$x_{1}=-x_{2}$

$v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
$v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
4/ matici P můžu sestavit tak, že v1 a v2 budou sloupcové vektory matice této matice
mám tedy

$P=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & -1 \end{pmatrix}$

Otázka: k matici P ale neexistuje inverzní matice $P^{-1}$ jelikož je singulární. Jak tedy najdu $P^{-1}$ abych mohla dosadit do vzorce. Kde dělám chybu?
Děkuji Vám moc

laszky · 09. 10. 2020 12:33 — Editoval laszky (09. 10. 2020 13:01)

↑ Malefic:

Ahoj. Problem bude v tom, ze matice A neni diagonalizovatelna. Jeji Jordanuv rozklad ma tvar

$A = (u_1,u_2)\begin{pmatrix} 4& 1\\ 0 & 4 \end{pmatrix}(u_1,u_2)^{-1}$

Vektory $u_1$ a $u_2$ tedy splnuji rovnost

$A(u_1,u_2) = (u_1,u_2)\begin{pmatrix} 4& 1\\ 0 & 4 \end{pmatrix},$

neboli $(\lambda=4)$

$(A-\lambda I)u_1=0$
$(A-\lambda I)u_2=u_1$

Malefic

↑ laszky:
Dekuji za odpoved. Chapu, ale jak potom vyresim $A^{100}$ - konkretne chteji soucet cisel na hlavni diagonale a+d takove matice a vysledek by se mel rovnat $2^{201}$

$trace(A^{100})=tr\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}=a+d$

laszky · 09. 10. 2020 12:59

↑ Malefic:

$\begin{pmatrix}\lambda&1\\ 0&\lambda \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix}\lambda^n&n\lambda^{n-1}\\ 0&\lambda^n \end{pmatrix}$

Malefic · 09. 10. 2020 13:11

↑ laszky:
aha, takhle jednoduse? Nerozumim prvku b = $n \lambda^{n-1}$

Nejsem si jista, zda rozumim kdy pouzit diag. matice a kdy staci umocnit matici slozenou z vlastnich cisel, ale uz aspon vim, kde vzali ten vysledek.

Dekuji za pomoc :)

laszky · 09. 10. 2020 13:19

↑ Malefic:

Zkus si vztah

$\begin{pmatrix}\lambda&1\\ 0&\lambda \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix}\lambda^n&n\lambda^{n-1}\\ 0&\lambda^n \end{pmatrix}$

dokazat sama matematickou indukci.

Malefic · 09. 10. 2020 13:31

↑ laszky:
Aha, chapu
zkusila jsem si matici postupne umocnovat napr. pro=2,3,4 a opravdu k tomu dojdu pro nejake n

napriklad $A^{3}$

$A^{3}=\begin{pmatrix} \lambda^{3} & 3 \lambda^{2}\\ 0 & \lambda^{3} \end{pmatrix}$

Dekuji

laszky · 09. 10. 2020 13:34

↑ Malefic:

Pozor, to ale neni matice A. Je to pouze jeji Jordanuv tvar. Kolik ti tedy vysla ta matice $A^{100}$ ?

Malefic · 09. 10. 2020 14:07

↑ laszky:
Ano, pravda. Neni to ta matice A v zadani ale jeji Jordan. tvar.
$J=\begin{pmatrix} 4 &1\\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

Tnz. dosazenim dostanu $A^{100}=P*J^{100}*P^{-1}=J^{100}$ pokud $P*P^{-1}$ je jednotkova matice?
$J^{100}=\begin{pmatrix} 4^{100} &100*4^{99}\\ 0 & 4^{100} \end{pmatrix}$
soucet pak na hlavni diagonale $2^{200} + 2^{200}=2^{200}(2)=2^{201}$

laszky · 09. 10. 2020 14:22

↑ Malefic:

Toto neplati:

$P*J^{100}*P^{-1}=J^{100}$

Zkus si spocitat konkretni tvar matice P.

Nicmene plati toto

$\mathrm{tr}(ABC)=\mathrm{tr}(BCA)=\mathrm{tr}(CAB)$ ,

takze

$\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(PJP^{-1})=\mathrm{tr}(JP^{-1}P)=\mathrm{tr}(J)$

a mas tedy pravdu v tom, ze matici P opravdu neni nutne pocitat

vanok · 09. 10. 2020 19:13

Pozdravujem ↑ Malefic:, ↑ laszky:’
Na riesenie tohto cvicenia mozme poznamenat, ze
$A=4 I + J$ , kde $I$ je jednotkova matica a $J=\begin{pmatrix} 1 &1\\ -1& -1 \end{pmatrix}$ .
A staci konstatovat ze $J^2=O$ , kde $O$ nulova matica.
Preto je vyhodne pouzit binonicku vetu co da lahko odpoved. ( kolega ↑ Malefic: to iste z radostou doriesi ).

kerajs · 10. 10. 2020 09:49

Alebo:

$& A=\left[\begin{array}{cc}5&1\\-1&3\end{array}\right]\\ & A^2=\left[\begin{array}{cc}24&8\\-8&8\end{array}\right]\\ & A^{n+1}=A^n A\\ & \left[\begin{array}{cc}a_{n+1}&b_{n+1}\\c_{n+1}&d_{n+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a_{n}&b_{n}\\c_{n}&d_{n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}5&1\\-1&3\end{array}\right] \\ & \begin{cases} a_{n+1}=5a_{n}-b_{n} \\ b_{n+1}=a_{n}+3b_{n} \\ c_{n+1}=5c_{n}-d_{n} \\ d_{n+1}=c_{n}+3d_{n} \\ a_1=5 \wedge a_2=24 \wedge b_1=1 \wedge b_2=8 \wedge c_1=-1 \wedge c_2=-8 \wedge d_1=3 \wedge d_2=8 \end{cases} \\ & .... \\ & .... \\ & \begin{cases} a_n=4^{n-1}(4+n) \\ b_n=n4^{n-1} \\ c_n=-n4^{n-1} \\ d_n=4^{n-1}(4-n) \end{cases} \\ & A^{100}=\left[\begin{array}{cc}104 \cdot 4^{99} & 100 \cdot 4^{99} \\-100 \cdot 4^{99} &-96 \cdot 4^{99} \end{array}\right]$

vanok · 10. 10. 2020 13:49 — Editoval vanok (11. 10. 2020 07:57)

Ahoj ↑ kerajs:,
Ano, tvoja velmi znama metoda ty zobrala iste dost casu. Ak by si napisal vsetki podrobnosti tak treba byt ozaj hrdina.

Akoze, na moj popis nikto nereagoval tak tu pridam cele riesene z #11.
$A^{100}=(4 I + J)^{100}= (4 I)^{100} +100.(4I)^{99}J +O+...+O \\ =4^{100}I+100.4^{99}J$
KONIEC riesenia.

Pre zabavu skuste toto:
Ucite $A^n$ kde $n \in \Bbb Z$ ak
$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 2\\ \end{pmatrix}$
( metodou akou chcete).

No doporucujem podonbnu metodu ako tu co som tu pouzil na cvicenie z #1.

vanok · 10. 10. 2020 22:41 — Editoval vanok (23. 10. 2020 10:23)

Poznamka.
Riesenie, ktore navrhujem su inspirovane teoremou rozkladu od Jordan&Chevalley ( niekedy ju volaju Dunford-ou teoremou).
Ide o rozklad typu D+N, kde D a N komutuju a D je diagonalisable a tiez N je nilpotentna. ( pozrite si o podronostiach vase prednasky).

vanok · 11. 10. 2020 12:24 — Editoval vanok (11. 10. 2020 18:45)

Indikacie na riesenie cvicenia z #13.
Tu je tiez lahko konstatovat, ze $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 2\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 0 &. 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0& 1 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} = 2I + J$ kde $I$ je jednotkova matica a $J= \begin{pmatrix} 0& 1 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}$ a $J^3=O$ .

A tu $2I$ a $J$ komutuju; $2I$ je diagonalizable (dokonca diagonala ) a $J$ je nilpotenntna. Tak iste to teraz viete ukoncit.

Dolezita poznamka.
Je velmi naivne mysliet, ze taketo jednoduche rozklady platia napr. pre lubovolne trojuholnikove matice. ( Najdite protipriklad)

vanok · 16. 10. 2020 07:23 — Editoval vanok (16. 10. 2020 07:28)

Najdite rozlad Jordan-Chevalley matice ( cf #14)
$\begin{pmatrix} 1 & a & 0\\ 0 & 2 & b\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$ .
Ide o ilustraciu dolezitej poznamky z #15.

Pomeranc

Ahoj, tak nějak nevím, co máš přesně na mysli, ale něco k tomu napíšu.
$\begin{pmatrix} 1 & a & 0\\ 0 & 2 & b\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0 & a & 0\\ 0 & 0 & b\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}$

unilpotentní matice mi vyšla
$\begin{pmatrix} 1 & a & 0\\ 0 & 1 & b/2\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$

vanok · 16. 10. 2020 14:11 — Editoval vanok (16. 10. 2020 14:32)

Ahoj ↑ Pomeranc:,
To nesplnuje poziadavky.

Pripominam, ze nilpotentna matica je takto definovana : https://en.wikipedia.org/wiki/Nilpotent_matrix .
A hladany rozklad je D+N, taky, ze D a N komutuju a D je diagonalizabotelna a N nilpotenta.

vanok · 16. 10. 2020 14:17 — Editoval vanok (16. 10. 2020 14:38)

Cakana ( a jedina mozna) dobra odpoved je
$\begin{pmatrix} 1 & a & 0\\ 0 & 2 & b\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & a & ab\\ 0 & 2 & b \\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0 & 0 & -ab\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}$

Pomeranc · 16. 10. 2020 17:05

↑ vanok:

Tak snaha byla :D .
I když připadá mi, že jsem tím nepodařeným pokusem pokazila příklad ostatním,
protože už byl zveřejněn výsledek.

vanok · 16. 10. 2020 18:37

Ahoj ↑ Pomeranc:,
No nevadi, pridam ine cvicenia,
Tak ci tak, tu islo o lahku variantu tohto problemu, bez velkych tazkosti.
Na take cvicenie upozornim, ze netreba zabudnut overnit komutavitu!!!
Naviac tento rozklad ma, medzi inym zajumavu aplikaciu, co sa tyka mocnin takychto matic. ( vdaka binomickej vete!)
Tiez suvis zo stabilitou endomorfizmov je zaujimavy.

vanok · 22. 10. 2020 14:57

Dalsie cvicenie :

Najdite rozlad Jordan-Chevalley matice ( cf #14)

$\begin{pmatrix} 4 & 0 & -1\\ -1& 1 & 3\\ 0 & -1& 4\\ \end{pmatrix}$ .
Navod. Vypocitajte najprv charaktericky polynom tejto matice. Je tiez vyhodne pouzit teoremu Cayley-Hamilton.

vanok · 23. 10. 2020 10:19 — Editoval vanok (23. 10. 2020 14:48)

Tu dokazeme, ze matica, ktoru oznacime $A$ v ↑ vanok: nie je diagonalizovatelna.
(Jednoduchy) vypocet nam da jej charakteristicky polynom $(X-3)^3$
A teorem od Cayley -Hamilton nam da, ze $A-3 I_3$ je nilpotentna ( kde $I_3$ je jednotkova matica 3x3),
Staci poznamenat, ze $A=3I_3+(A-3I_3)$ aby sme dostali hladany rozklad, ktory je ....

vanok · 29. 10. 2020 09:02

Skuste teraz nast rozklad Jordan-Chevelley tejto matice:
$A= \begin{pmatrix} -2 & -1 & 1&2\\ 1& -4& 1&2\\ 0 & 0& -5& 4\\ 0& 0& -1&-1\\ \end{pmatrix}$

vanok · 30. 10. 2020 22:19 — Editoval vanok (31. 10. 2020 09:36)

↑ vanok:,
Iste ste dokazali ze $A$ ma charakteristicky polynom $(X+3)^4$
(Pripadne ste mohli vyuzit, ze $A$ je zaujimava trojuholnikova blokova matica )
Podobne ( co sa tyka myslienky) ako v predoslom cviceni mame, ze $A+3I_4$ je nilpotentna .... a tak lahko najdete pytany rozklad.

Matematické Fórum

#1 09. 10. 2020 11:12

Diagonalizovatelná matice

#2 09. 10. 2020 12:33 — Editoval laszky (09. 10. 2020 13:01)

Re: Diagonalizovatelná matice

#3 09. 10. 2020 12:48 — Editoval Malefic (09. 10. 2020 12:49)

Re: Diagonalizovatelná matice

#4 09. 10. 2020 12:59

Re: Diagonalizovatelná matice

#5 09. 10. 2020 13:11

Re: Diagonalizovatelná matice

#6 09. 10. 2020 13:19

Re: Diagonalizovatelná matice

#7 09. 10. 2020 13:31

Re: Diagonalizovatelná matice

#8 09. 10. 2020 13:34

Re: Diagonalizovatelná matice

#9 09. 10. 2020 14:07

Re: Diagonalizovatelná matice

#10 09. 10. 2020 14:22

Re: Diagonalizovatelná matice

#11 09. 10. 2020 19:13

Re: Diagonalizovatelná matice

#12 10. 10. 2020 09:49

Re: Diagonalizovatelná matice

#13 10. 10. 2020 13:49 — Editoval vanok (11. 10. 2020 07:57)

Re: Diagonalizovatelná matice

#14 10. 10. 2020 22:41 — Editoval vanok (23. 10. 2020 10:23)

Re: Diagonalizovatelná matice

#15 11. 10. 2020 12:24 — Editoval vanok (11. 10. 2020 18:45)

Re: Diagonalizovatelná matice

#16 16. 10. 2020 07:23 — Editoval vanok (16. 10. 2020 07:28)

Re: Diagonalizovatelná matice

#17 16. 10. 2020 13:54 — Editoval Pomeranc (16. 10. 2020 13:57)

Re: Diagonalizovatelná matice

#18 16. 10. 2020 14:11 — Editoval vanok (16. 10. 2020 14:32)

Re: Diagonalizovatelná matice

#19 16. 10. 2020 14:17 — Editoval vanok (16. 10. 2020 14:38)

Re: Diagonalizovatelná matice

#20 16. 10. 2020 17:05

Re: Diagonalizovatelná matice

#21 16. 10. 2020 18:37

Re: Diagonalizovatelná matice

#22 22. 10. 2020 14:57

Re: Diagonalizovatelná matice

#23 23. 10. 2020 10:19 — Editoval vanok (23. 10. 2020 14:48)

Re: Diagonalizovatelná matice

#24 29. 10. 2020 09:02

Re: Diagonalizovatelná matice

#25 30. 10. 2020 22:19 — Editoval vanok (31. 10. 2020 09:36)

Re: Diagonalizovatelná matice