Matematické Fórum

Stayzie · 12. 10. 2020 07:51

Ahoj, potřebovala bych poradit co s tímto příkladem, u kterého máme buď dokázat či vyvrátit jeho správnost. $2^{3n+1}+5$ je dělitelné sedmi

david_svec · 12. 10. 2020 08:26

↑ Stayzie:

Zdravím,

tenhle typ příkladů se většinou řeší pomocí matematické indukce, kdy si nejdříve ověříme, zda to vůbec platí pro nějaké malé "n" a poté předpokládáme, že to platí pro "k" prvků a chceme dokázat implikaci $V(k)\Rightarrow V(k+1)$ .

Přišla jsi už na něco?

Stayzie · 12. 10. 2020 08:50

1. Takže za n =1 $2^{3*1+1}+5 = 21$ , tedy v tomto případě dělitelnost platí
2. Předpokládám, že platí tvrzení n = k, dokážu n = k + 1
$2^{3*(k+1)+1}+5=$
$2^{3k+4}+5=$
$2^{3k}*2^{4}+5=$

misaH · 12. 10. 2020 09:03

↑ Stayzie:

No.

Máš dokázať, že ak podľa predpokladu je

$2^{3k+1}+5$ deliteľné siedmimi, tak potom aj

$2^{3(k+1)+1}+5$ je deliteľné siedmimi

david_svec · 12. 10. 2020 09:13

↑ Stayzie:

Dokonce to platí i pro n=0 :-)

Pokud předpokládáme, že $2^{3k+1}+5$ je dělitelné sedmi, můžeme to zapsat takto: $2^{3k+1}+5=m\cdot 7$ .
Pro nějaké m přirozené.

Potom tedy: $2^{3*(k+1)+1}+5=\\ 2^{3k+4}+5=\\ 2^{3k+1}\cdot 2^{3}+5=$ Využijeme našeho předpokladu: $2^{3k+1}+5=m\cdot 7 \Rightarrow 2^{3k+1}=7m-5$ a dosadíme.
Získáme $(7m-5)\cdot 2^{3}+5=$ , když tohle roznásobíš a upravíš, mělo by to být už jasně vidět. :-)

misaH · 12. 10. 2020 09:18 — Editoval misaH (12. 10. 2020 09:21)

$2^{3(k+1)+1}+5=16\cdot2^{3k}+5$

Tento vzťah treba upraviť tak, aby sa v ňom nachádzal predpoklad, o ktorom vieme, že je deliteľný siedmimi.

Platí

$16\cdot2^{3k}=2\cdot 2^{3k}+14\cdot 2^{3k}$

Vrátiš, uvážiš, že je tam ten predpoklad, ktorý je deliteľný siedmimi a pozrieš sa, či aj ten zvyšok, ktorý zostal, je deliteľný siedmimi.

Je?

:-)

Vidím aj iný príspevok (zdravím a ospravedlňujem sa), môj je trochu "detskejší"...

Stayzie · 12. 10. 2020 09:19

Super, už chápu, všem mnohokrát děkuji :)

misaH · 12. 10. 2020 09:22

↑ Stayzie:

Drž sa :-)

david_svec · 12. 10. 2020 09:23

↑ misaH:
↑ Stayzie:

:))

misaH · 12. 10. 2020 10:05

↑ david_svec:

:-)

vanok · 12. 10. 2020 12:43

Ahoj ↑ Stayzie:,
To si mohla pokracovat v #3,
Miesto posledneho riadku si mohla napisat
$2^{(3k+1)+3}+5=$
$8.2^{3k+1}+5=$
$(7+1).2^{3k+1}+5=$
$7.2^{3k+1}+(2^{3k+1}+5)$

A vidime, ze obidva cleny su delitelne cislom 7. .....