Matematické Fórum

Sikys · 19. 10. 2020 00:10

Zdravím,

potřebuji pomoci s následujícím příkladem: $2x^{2}-(a+1)x+a-1=0$ a platí $x_{1}-x_{2}= x_{1}x_{2}$ . Mám určit a.

Šel jsem před Vietovy vzorce, nejdřív jsem rovnici vydělil dvěma

dostal jsem 3 rovnice o 3 neznámých
$x_{1}-x_{2}= x_{1}x_{2}$
$\frac{a-1}{2}= x_{1}x_{2}$
$\frac{a+1}{2}= x_{1}+x_{2}$

-> vyjádřil jsem si $x_{2}$ z první rovnice $x_{2}= \frac{x_{1}}{x_{1} + 1}$

a dosadil do třetí s tím, že jsem si vyjádřil a. To mi vyšlo $a = \frac{2x_{1}^{2}+3x_{1}+1}{x_{1}+1}$ .
Ale když se pak snažím dosadit, tak mi to nevychází (vyjde mi že $x_{1}=0$ )

Nějaké nápady? Řešení je $a=2$
Díky

Jj · 19. 10. 2020 00:48 — Editoval Jj (19. 10. 2020 00:54)

↑ Sikys:

Hezký den, možná "přímočařeji":

Řekl bych, že zadaná kvadratická rovnice má kořeny

$x_{1,2} = 1, \quad (a-1)/2$ , což po jejich dosazení přímo do vztahu pro její kořeny vede ke dvěma možným rovnicím pro a:

$1 - (a-1)/2 = (a -1)/2$ , která má kořen a = 2,
$(a-1)/2 - 1 = (a -1)/2$ , která nemá řešení.

misaH · 19. 10. 2020 01:57 — Editoval misaH (19. 10. 2020 02:09)

No.

Moje riešenie, Jj iste prepáči - zdravím :-)

Vyšla som z troch rovníc uvedených zadávateľom.

1. Rovnice obsahujúce "a" som zrátala, dostala som
$a=x_1x_2+x_1+x_2$

2. Vzhľadom k prvej rovnici

$a=x_1-x_2+x_1+x_2$

Odtiaľ

$x_1=\frac a2$

3. Dosadením do upravenej tretej rovnice a následnej doúprave

$\frac a2+\frac 12=\frac a2 +x_2$

$x_2=\frac 12$

4. Dosadením do prvej rovnice zo zadania

$\frac a2 - \frac 12 = \frac a4$

A odtiaľ už bezbolestne $a=2$