Matematické Fórum

Pomeranc

Ahoj,

řeším taky příklad na normu funkcionálu popř. najít i normující posloupnost. Mohl byste mi s tím někdo pomoct?
Funkcionál je zadán:
$T:L^{1}[0,1] \ do \ L^{1}[0,1]$
$Tf(x)=x*\int_{0}^{x}f(t)dt$

Bati · 20. 10. 2020 23:59

Ahoj, jde o to najit funkci f s normou 1, aby
$\int_0^1|x\int_0^xf|dx$
bylo co nejvetsi. Pomuze, kdyz f bude menit znamenko, nebo staci vzit $f\geq0$ ? Hodnoty funkce f pobliz nuly jsou znehodnocovany faktorem x. Jak se tomu vyhnout?

Pomeranc · 27. 10. 2020 16:36

↑ Bati:

Ahoj,

$\int_{0}^{1}f(t) dt = 1$
Chceme taky max $\int_0^1|x\int_0^xf|dx$ $\Leftrightarrow max \ |x\int_0^xf|$
a pak jsem si říkala
$\int_{0}^{1}t dt\ \ge \int_{0}^{1}t^{2}dt$ ,
takže by bylo třeba hezké kdyby $\int_0^xfdt=1$ .

Bati · 27. 10. 2020 21:29

↑ Pomeranc:
ad1) $\int_0^1 f$ neni norma

ad2) Ta ekvivalence neplati

ad3) $\int_0^xf=1$ muze platit jen pro Diraca v nule, ale to nechces. Naopak potrebujes koncentraci v 1.

Pomeranc · 04. 11. 2020 19:08

↑ Bati:

Já už toho moc asi nevymyslím, možná je to pro mě těžké (i když jsme to dostali jako cvičení).

Vezmeme so funkci z L1[0,1], tak aby
$\int_{0}^{1} |f(x)|dx \le 1$
Norma zobrazení tedy je
$\int_0^1|x\int_0^xf|dx\le \int_0^1|x||\int_0^xf|dx\le \int_0^1|x|\int_0^x|f|dx \le \int_0^1|x|\int_0^1|f|dx = ||f||*\int_0^1|x| dx\le \frac{1}{2}$

Nevím, jestli je to ok, normující funkci asi nenajdu.

Matematické Fórum

#1 20. 10. 2020 21:36 — Editoval Pomeranc (20. 10. 2020 21:37)

Norma lineárního operátoru

#2 20. 10. 2020 23:59

Re: Norma lineárního operátoru

#3 27. 10. 2020 16:36

Re: Norma lineárního operátoru

#4 27. 10. 2020 21:29

Re: Norma lineárního operátoru

#5 04. 11. 2020 19:08

Re: Norma lineárního operátoru

Zápatí