Matematické Fórum

Luky223 · 28. 10. 2020 20:06

Zdravím potreboval by som sa od niečoho odrazit v tomto príklade, ide pravdepodobne len o vyjadrenie vzorca. Ale velmi nerozumiem zadaniu vo vzdialenosti R od stredu, sa myslí vlastne ten polomer?
a dalej sa ani neviem odrazit..
dakujem za každú radu

Na vodiči v tvare kružnice polomeru R je uložený náboj Q. Vypočítajte potenciál elektrostatického poľa vytvoreného týmto nábojom na osi tejto kružnice vo vzdialenosti R od jej stredu.

Ferdish

Ak si umiestnim daný kružnicový vodič s polomerom R do kartézskej súradnej sústavy tak, že ho umiestnim do roviny xy a stred kružnicového vodiča umiestnim do počiatku sústavy, tak bod, v ktorom mám spočítať potenciál, bude ležať na osi z buď nad alebo pod úrovňou roviny xy vo vzdialenosti R.

Názorná ukážka ako náčrt situácie vyzerá v GeoGebre pri voľbe R = 5 (obrázok sa dá zväčšiť otvorením na novej karte). Body D,E sú bodmi, ktoré spĺňajú podmienku zadania. Je jedno ktorý z bodov si vyberieš, z hľadiska hodnoty el. potenciálu sú oba rovnocenné.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Čo sa týka výpočtu, tak ťa asi sklamem - nebude to o jednoduchom dosadení do vzorca. Budeš musieť integrovať podľa vzťahu pre potenciál lineárne rozloženého náboja.
Samozrejme, "hotový" vzorec ako výsledok integrovania sa určite dá nájsť niekde na internete. Otázkou je, či tvojmu vyučujúcemu/vyučujúcej takýto postup riešenia bude stačiť.

MichalAld · 28. 10. 2020 20:55

Pokud pocitame potencial jen na ose te kruznice, tak se integrovani zredukuje na jednoduche vynasobeni delkou. Takze staci vyjadrit potencial vytvoreny libovolnym elementem dl a pak vynasobit 2PiR .... vzorec jde napsat skoro z hlavy

Luky223 · 29. 10. 2020 16:44

no určite mi bude treba odvodenie, asi by som začal s tymto podla obrazka
$\varphi = \int_{Q}^{}\cdot \frac{dQ}{4\pi \varepsilon _{0}} = \int_{S}^{}\cdot \frac{\sigma dS}{4\pi \varepsilon _{0}R}$

Postupujem spravne?

Ferdish

Už v tom prvom integráli ti z menovateľa vypadla vzdialenosť, a v tom druhom záleží na tom aký prvok/veličina je pod označením $S$ resp. $dS$ .

Väčšinou sa písmenom $S$ označuje plocha na ktorej je náboj rozložený a $dS$ je jej element. Ty však náboj nemáš rozložený na ploche, ale vo vnútri lineárneho vodiča. Síce je vodič ako taký ohnutý do kružnice, ale stále je to len "čiara", teda jednorozmerná záležitosť.

Luky223 · 29. 10. 2020 17:32

Aha takže prvy integrál takto
$\varphi = \int_{Q}^{}\cdot \frac{dQ}{4\pi \varepsilon _{0}r}$

Ale dalej vlastne ano nie je tam plocha je uloženy náboj ale vlastne ako potom dalej

$\varphi = \int_{r}^{r0} E\cdot dr$

trochu mam z toho šalat ale vyšlo mi z hlavy toto

Ferdish

Nasmerovany si bol dobre, len si zvolil plosny integral.Ty potrebujes integrovat po kruznici, čo je uzavreta krivka - takze krivkovy integral.

Pisem z mobilu a na nom sa dost komplikovane pisu vyrazy v Latexu takze takto cez link: https://cs.m.wikipedia.org/wiki/Elektri … nci%C3%A1l

Hladaj vyjadrenie pre potencial linearne rozlozeneho naboja (uz som ti to v jednom prispevku spominal).

Inak aj rada od kolegu ↑ MichalAld: sa v tomto pripade hodi, ale pri nej tiez musis vyjst z integralu resp. spravneho podintegralneho vzorca.

Luky223 · 29. 10. 2020 20:31

Neviem či som to pochopil správne spojil som radu obidvoch Aj od MichalAD aj od Ferdish
$\varphi =\int_{l}^{} \frac{dr}{2\pi \varepsilon _{0}R} \cdot dl$

Ale neviem či to je spravne.

Ferdish

Tu netreba nič kombinovať - ten vzorec z Wikipedie stačilo opísať celý ako je!

$\varphi ({\boldsymbol {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int _{l}{\frac {\tau ({\boldsymbol {r}}^{\prime })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime }|}}\mathrm {d} l$

$\tau ({\boldsymbol {r}}^{\prime })$ - lineárna/dĺžková hustota náboja, podiel hodnoty náboja a dĺžky krivky na ktorej je tento náboj rozložený - u nás obvod kružnice s polomerom $R$

$\boldsymbol {r}$ - polohový vektor bodu v priestore, v ktorom chceme vypočítať hodnotu potenciálu

$\boldsymbol {r}^{\prime}$ - polohový vektor dĺžkového elementu $\mathrm {d}l$ , ktorý prispieva hodnotou nábojovej hustoty $\tau ({\boldsymbol {r}}^{\prime })$ k celkovému potenciálu

$\varepsilon$ - permitivita prostredia v rámci ktorého integrujeme, ak nie je v zadaní konkretizovaná tak sa miesto nej dosádza premitivita vákua $\varepsilon _0$

Vychádzaj z náčrtu - kľudne z toho, čo som ti dal. Na kružnici predstavujúcej vodič si zvoľ nejaký element $\mathrm {d}l$ , vyznač si vektory $\boldsymbol {r}$ , $\boldsymbol {r}^{\prime}$ a eventuálne aj ${\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime }$ .

Tvojou úlohou je vyjadriť si hustotu $\tau ({\boldsymbol {r}}^{\prime })$ (už som naznačil ako), veľkosť vektoru $|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime }|$ a tiež $\mathrm {d}l$ pomocou veličín a hodnôt, ktoré máš v zadaní $R$ plus nejaké ďalšie ktoré vyplynú z náčrtu.

Keď to budeš mať, tak to všetko dosaď do podintegrálneho výrazu, konštanty a veličiny nezávislé na polohe vyjmi pred integrál a to čo ti ostane preintegruj.

Zvládaš?

Luky223 · 30. 10. 2020 17:34

no skusím z toho vyjst čiže miesto tau r v čitateli nahradime iba našim polomerom R teraz v čitateli si r - r s čiarou vyjadrime pomocou osi x a y a z cez pytagorovu vetu?

$\varphi = \frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}} \cdot \int_{l}^{}\frac{R}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}$

Ferdish

Zdá sa, že s touto tematikou resp. spôsobom riešenia máš zjavne väčšie problémy ako si pôvodne naznačoval v prvom príspevku. Viem že výuka online počas prvej vlny asi nebola nič moc, ale čo vám na strednej bolo vysvetlené ohľadom derivácií a integrálov?

Luky223

na strednej som nemal derivacie a integrály, nie som gymnazista... a na VŠ ich budem mat až v dalšom semestri. vidím že za zlomkom chýba $\cdot dl$ ale s menovatelom si aj tak niesom istý ani s postupom

Ferdish

Hm, realita dnešných dní...a s momentálnym systémom výuky dosť tristná, pretože na podrobné vysvetlenie je stále najlepšie aby vyučujúci bol v osobnom kontakte so študentmi. Predpokladám, že ani konzultácie s vyučujúcimi nemáte povolené, že?

Tak to skúsim po častiach. Budeme postupne dosádzať jednu veličinu za druhou.
Správne si si všimol že si v podintegrálnom výraze vynechal dĺžkový element $\mathrm{d}l$ . Ja by som sa však ešte vrátil k tej lineárnej hustote $\tau ({\boldsymbol {r}}^{\prime })$ .
Ty si za ňu dosadil polomer $R$ , hoci som ti spomenul, že hustota je v našom prípade definovaná ako podiel veľkosti náboja a obvodu nášho kružnicového vodiča.

Vedel by si teraz za $\tau ({\boldsymbol {r}}^{\prime })$ dosadiť správne do pôvodného vzťahu? Teda do vzťahu

$\varphi ({\boldsymbol {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int _{l}{\frac {\tau ({\boldsymbol {r}}^{\prime })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime }|}}\mathrm {d} l$

Luky223

podiel naboja a obvodu
bude $\frac{q}{2\pi r}$

ak nejde zobrazit tak mam na mysli Q/2pir

Ferdish

Máš pravdu, avízované problémy kolegyne misaH sa začínajú objavovať aj tu (a to som jej pred chvíľou tvrdil, že tu to fachá bezchybne).

Čo sa týka výrazu, tak v princípe áno ale malá chybička: polomer nášho vodiča je veľké R.

Luky223 · 30. 10. 2020 21:43

čiže čitatel( hustota) je vyjadrená, r si teraz potrebujem označit na okraji kružnice ako je polomer? kedže potencial potrebujeme vypočitat vo vzdialenosti R od stredu? alebo na tej osi z z obrazka

Ferdish · 30. 10. 2020 23:12

Toto bude na dlhšie, ale necháme si to na zajtra, OK? ;-)

Ferdish

$\boldsymbol {r}$ je vektor smerujúci od počiatku sústavy do bodu, v ktorom chceme spočítať hodnotu potenciálu (bod D alebo E na mojom pôvodnom náčrte tu)

$\boldsymbol {r}^{\prime}$ je vektor smerujúci od počiatku sústavy k nejakému zvolenému dĺžkovému elementu $\mathrm{d}l$ na našom kružnicovom vodiči.

${\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime }$ je vektor, ktorý smeruje od zvoleného elementu $\mathrm{d}l$ do bodu, v ktorom chceme spočítať hodnotu potenciálu.

Vedel by si všetky vektory zakresliť do môjho náčrtu? Pozor - upload obrázkov cez voľbu na fóre nefunguje, musel by si použiť externý image hosting.

Luky223

Skúsil som to nejako takto

Odkaz

Ferdish

OK. A teraz - bez ohľadu na to, aký element a k nemu prislúchajúci vektor $\boldsymbol {r}^{\prime}$ si zvolíš, tak vektor $\boldsymbol {r}^{\prime}$ nemení svoju dĺžku - to je podstatná informácia č. 1.

Taktiež dĺžka vektora $\boldsymbol {r}$ sa ti nemení, pretože $\boldsymbol {r}$ stále smeruje do bodu D ktorý je pevne daný - to je podstatná informácia č. 2.

Takže máme vektory $\boldsymbol {r}$ a $\boldsymbol {r}^{\prime}$ , oba s nemennou a danou dĺžkou. Aký dôsledok z toho vieme vyvodiť pre vektor ${\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime }$ a jeho dĺžku $|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime }|$ ? Vieme si ju vyjadriť?

Luky223

Podľa pytagorovej vety by sa to dalo.
$|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime }| = \sqrt{r^{2}+r' ^{2}}$

Ferdish · 31. 10. 2020 12:56

Správne. Dokážeš aj rovno dosadiť do integrálu, keďže dĺžky oboch vektorov poznáš?

Luky223

Myslí sa že r s čiarou a r je teda polomer kružnice $R$ ?

a teda

Ferdish · 31. 10. 2020 13:26

OK, dá sa to však upraviť - všetko sú to totiž konštanty ktoré možno vyňať pred integrál, takže pod integrálom ti ostane iba $\mathrm{d}l$ :-)

Luky223 · 31. 10. 2020 14:05

Čiže upravou zloženeho zlomku dostanem vztah

$\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\cdot \frac{Q}{\sqrt{R^{2}+R^{2}}\cdot 2\pi R} \int_{l}^{} dl$

a ked odstránim integrál odčítam dĺžku l ?

Matematické Fórum

#1 28. 10. 2020 20:06

Potenciál elektrostatického poľa

#2 28. 10. 2020 20:45 — Editoval Ferdish (28. 10. 2020 20:47)

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#3 28. 10. 2020 20:55

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#4 29. 10. 2020 16:44

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#5 29. 10. 2020 17:06 — Editoval Ferdish (29. 10. 2020 17:30)

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#6 29. 10. 2020 17:32

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#7 29. 10. 2020 19:12 — Editoval Ferdish (29. 10. 2020 19:39)

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#8 29. 10. 2020 20:31

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#9 29. 10. 2020 21:10 — Editoval Ferdish (29. 10. 2020 21:14)

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#10 30. 10. 2020 17:34

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#11 30. 10. 2020 18:55 — Editoval Ferdish (30. 10. 2020 18:59)

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#12 30. 10. 2020 19:06 — Editoval Luky223 (30. 10. 2020 19:07)

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#13 30. 10. 2020 20:55 — Editoval Ferdish (30. 10. 2020 20:55)

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#14 30. 10. 2020 21:18 — Editoval Luky223 (30. 10. 2020 21:21)

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#15 30. 10. 2020 21:25 — Editoval Ferdish (30. 10. 2020 21:26)

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#16 30. 10. 2020 21:43

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#17 30. 10. 2020 23:12

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#18 31. 10. 2020 11:01 — Editoval Ferdish (31. 10. 2020 11:01)

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#19 31. 10. 2020 11:08 — Editoval Luky223 (31. 10. 2020 11:13)

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#20 31. 10. 2020 11:54 — Editoval Ferdish (31. 10. 2020 11:55)

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#21 31. 10. 2020 12:34 — Editoval Luky223 (31. 10. 2020 12:42)

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#22 31. 10. 2020 12:56

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#23 31. 10. 2020 13:04 — Editoval Luky223 (31. 10. 2020 13:13)

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#24 31. 10. 2020 13:26

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#25 31. 10. 2020 14:05

Re: Potenciál elektrostatického poľa

Zápatí