Matematické Fórum

Ferdish · 31. 10. 2020 14:25

Integrál nemôžeš len tak odstrániť, $\int_{l}^{} \mathrm{d}l$ sa bude musieť preintegrovať. Práve tento integrál je jeden z tých triviálnych, aspoň teda pre niekoho kto pozná krivkové integrály.

Dokonca by vedeli jeho hodnotu povedať z hlavy. To ale asi nebude tvoj prípad, takže sa na to pozrieme podrobnejšie - súhlasíš?

BTW tá konštanta pred integrálom sa dá ďalej upraviť...

Luky223 · 31. 10. 2020 14:39

no tú konštantu som ešte upravil, viac to už asi nejde vzniklo mi

$\frac{Q}{8\pi ^{2}\cdot \sqrt{2}\cdot R^{2}}$

a tento integrál skúsme teda

Ferdish

OK, na úvod otázka - učili ste sa na SŠ vyjadrovať dĺžku kružnicového oblúka pomocou stredového uhla?

Luky223 · 31. 10. 2020 14:47

$l=\frac{2\pi r}{360}$ tento výpočet sme používali vykrátenim nám ostane $l=\frac{\pi r}{180}$

Ferdish · 31. 10. 2020 15:13

Si si istý, že máš ten vzťah dobre? Mne tam chýba ten spomínaný stredový uhol...

Luky223 · 31. 10. 2020 15:19

Jasné, moc rýchlo píšem

$l= \frac{\pi r}{180}\cdot \alpha$

Ferdish

OK, teraz príde na rad malá finta, ktorú určite poznáš zo školy keď ste preberali premeny uhlových jednotiek.

$\frac{\pi}{180}$ je pomer, ktorým treba prenásobiť uhol vyjadrený v stupňoch, aby sme dostali ten istý uhol vyjadrený v radiánoch.

Na pravej strane vzťahu $l= \frac{\pi r}{180}\cdot \alpha$ máme aj tento pomer, aj náš uhol $\alpha$ v stupňovej miere. Tak to využijeme a rovno môžeme tento vzťah prepísať ako

$l= r \cdot \alpha$

kde náš uhol $\alpha$ je teraz vyjadrený v radiánoch. Takže ak poznáš polomer kružnice a veľkosť stredového uhla v radiánoch, vieš priamym súčinom vypočítať dĺžku kružnicového oblúka prislúchajúceho danému uhlu na danej kružnici.

Ak si za uhol dosadíš hodnotu $2\pi$ čo je veľkosť plného uhla, teda uhla 360°, dostaneš vzorec pre obvod kružnice s polomerom $r$ . To dáva zmysel, pretože plnému uhlu zodpovedá kružnicový oblúk o dĺžke celej kružnice.
Podobné výsledky dosiahneš keď za uhol dosadíš radiánové ekvivalenty uhlov 180° -> polovica obvodu kružnice, 90° -> štvrtina obvodu kružnice, 45° -> osmina obvodu kružnice atď.

Zatiaľ chápeš?

Luky223 · 31. 10. 2020 16:44

no zatial ano

Ferdish · 31. 10. 2020 17:15

Takže si teraz pomocou tohto princípu vieme vyjadriť dĺžku nášho elementu $\mathrm{d}l$ ako miniatúrny kružnicový oblúk daný súčinom polomeru $R$ kružnicového vodiča a miniatúrneho uhla $\mathrm{d\alpha }$ .
A keďže $R$ je konštanta, ktorú môžeme vyňať, pre náš integrál dostaneme

$\int_{l}^{} \mathrm{d}l=R\int_{\theta}^{} \mathrm{d}\alpha$

Takže náš integrál cez celú dĺžku kružnice sa nám transformoval na integrál cez plný uhol, ktorý som si označil $\theta$ . Vedel by si určiť hranice tohto integrálu, teda odkiaľ pokiaľ integrovať?

Luky223 · 31. 10. 2020 17:36

od $R$ po náš uhol $d\alpha$ ?

Ferdish · 31. 10. 2020 18:18

Predstav si, že stojíš na tej kružnici v nejakom počiatočnom/nulovom bode a ideš po jej obvode dookola, pričom si (1) trasuješ/značíš cestu, ktorú si prešiel a (2) zaznamenávaš veľkosť uhla, ktorý tvojej celkovej prejdenej dráhe prislúcha.

Začínaš v nule, tvoja dráha je nulová a teda aj uhol ktorý jej prislúcha má veľkosť nula. To je tvoj začiatok, to je tvoja dolná hranica integrálu.
Posunieš sa o malý dielik $\mathrm{d}l$ , tomu prislúcha uhol $\mathrm{d}\alpha$ . Posunieš sa znova o dielik $\mathrm{d}l$ čiže si dokpy prešiel $2\mathrm{d}l$ a tomu prislúcha uhol $2\mathrm{d}\alpha$ .

Takto postupne dielik po dieliku prejdeš celý obvod kružnice až skončíš opäť v nulovom počiatočnom bode, čiže tejto tvojej celkovej prejdenej dráhe bude zodpovedať plný uhol $\theta$ .
Akú veľkost v radiánovej miere má plný uhol - to sme si tu už spomínali. A to je aj tvoja horná hranica integrálu.

Luky223 · 31. 10. 2020 18:24

čiže od $0$ po $2\pi$ je hranica integrálu

Ferdish

↑ Luky223:
Výborne! Zvládneš aj zintegrovať?

Luky223 · 31. 10. 2020 18:42

$\int_{0}^{2\pi }d\alpha$

čiže ked toto zintegrujem dostanem $2\pi$

Ferdish

Výborne :-) teraz to už len všetko dať dokopy a máš výsledok.

Luky223 · 31. 10. 2020 18:54

takže potenciál sa rovná tomuto vzorcu

$\varphi =\frac{Q}{8\pi ^{2}\cdot \sqrt{2}\cdot R^{2}}\cdot 2\pi R$

ktorý si vieme ešte vykrátit na $\varphi =\frac{Q}{4\pi \cdot \sqrt{2}\cdot R}$

Takto je to správne

Ferdish · 31. 10. 2020 19:00

Trvalo to, ale k výsledku sme sa dopracovali :-)

Luky223 · 31. 10. 2020 19:06

Fu to teda :D ale zaklad je že vyýsledok je na svete, samozrejme vďaka tvojej pomoci. Veľmi pekne ďakujem

Ferdish · 31. 10. 2020 19:08

↑ Luky223:
Prajem veľa zdaru a trpezlivosti v ďalšom štúdiu - ver mi, toto je "len" začiatok :-)

MichalAld · 01. 11. 2020 08:14

Když už tu řešíte ten křivkový integrál podél kružnice, připomělo mi to ten vtip....

V Polsku v dobách tuhého socialismu si jeden docent matematiky spočítal, že dělník v loděnici vydělá 3× více než on. Tak si řekl jebat to, poškrtal tituly před a za jménem a šel do fabriky. Ve fabrice se mu samozřejmě dařilo, moc se nepřetrh a dostával 3× víc než na škole. Pak fabrika představila večerní školu pro dělníky, a že kdo tam bude chodit, dostane přidáno. Tak se tam docent napsal a začal chodit. Hned první hodinu, mrd ho, matematika. Obtížnost jako v prvním ročníku na střední, takže docent jen tak pospává a nedává pozor. Všimne si ho učitel, vyvolá k tabuli a dá mu spočítat obsah kruhu. Docent začne psát, ale za boha si nemůže vzpomenout na vzorec pro obsah kruhu, takže se to rozhodne odvodit. Napíše si převod do polárních souřadnic, pak to integruje a vyjde mu -πr2, tak tam stojí a přemýšlí, kde se tam vzalo to mínus. A z poslední řady někdo zašeptá: "Otoč interval integrace."

MichalAld · 01. 11. 2020 08:17

Jinak bych řekl, že je jednodušší pochopit, že křivkový integrál

$\int_{L}^{}d\l$ či $\int_{L}^{}1d\l$

je prostě délka té křivky, než to nějak sofistikovaně počítat...

Ferdish · 01. 11. 2020 09:02

↑ MichalAld:
Ten vtip poznám, akurát s trochu pozmeneným záverom :-)

Matematické Fórum

#26 31. 10. 2020 14:25

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#27 31. 10. 2020 14:39

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#28 31. 10. 2020 14:43 — Editoval Ferdish (31. 10. 2020 14:43)

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#29 31. 10. 2020 14:47

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#30 31. 10. 2020 15:13

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#31 31. 10. 2020 15:19

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#32 31. 10. 2020 15:57 — Editoval Ferdish (31. 10. 2020 15:58)

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#33 31. 10. 2020 16:44

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#34 31. 10. 2020 17:15

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#35 31. 10. 2020 17:36

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#36 31. 10. 2020 18:18

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#37 31. 10. 2020 18:24

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#38 31. 10. 2020 18:30 — Editoval Ferdish (31. 10. 2020 18:30)

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#39 31. 10. 2020 18:42

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#40 31. 10. 2020 18:49 — Editoval Ferdish (31. 10. 2020 18:49)

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#41 31. 10. 2020 18:54

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#42 31. 10. 2020 19:00

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#43 31. 10. 2020 19:06

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#44 31. 10. 2020 19:08

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#45 01. 11. 2020 08:14

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#46 01. 11. 2020 08:17

Re: Potenciál elektrostatického poľa

#47 01. 11. 2020 09:02

Re: Potenciál elektrostatického poľa

Zápatí