Matematické Fórum

Napadá ma aplikovať 2x kosínusovú vetu, jednu pre trojuholník ABC s využitím hľadaného uhla CAB a druhú pre trojuholník NMB s využitím uhla NMB = δ.

↑ uršulka_life:
Ja som sa sínusovku a kosínusovku učil niekedy v 1. alebo 2. ročníku gymnázia, čo odpovedá kvinte resp. sexte gymnázia osemročného. Študoval som však na Slovensku a jednak to bolo pred viac ako 10 rokmi. Odvtedy sa mohli učebné plány a osnovy pre SŠ matematiku zmeniť. Takže možno sa k tomu dostanete práve v sexte :-)

Kategórie v Klokanovi sú toho dobrým príkladom, pretože každá postupne pokrýva dva školské ročníky od druhého ZŠ až po štvrtý SŠ. Takže ak žiak/študent chce dosiahnuť nejaký ten lepší výsledok a nechce byť na školskom kole len "do počtu" resp. aby sa iba ulial z hodín cez ktoré Klokan prebieha (však vieme, ako to funguje), avšak je žiakom nižšieho ročníka v rámci svojej kategórie, tak okrem toho, čo sa naučí na štandardných hodinách matematiky pre svoj ročník, musím mať vo výbave aj vedomosti a znalosti naviac, ktorými disponujú jeho o rok starší spolužiaci.

↑ uršulka_life:
Žádný Lomikar není potřeba (natož 2, jak navrhuje ↑ Ferdish:), je potřeba se jenom zamyslet.
Máme tedy tr.ABC
Označme jeho strany, tak jak je zvykem, a,b,c ([mathjax]\alpha ,\beta ,\gamma [/mathjax])
Pak dle zadání je vzdálenost AM rovna [mathjax]|AM|=\frac{c-b}{2}[/mathjax]
Nyní sestrojme rovnoramenný trojúhelník AEC s rameny [mathjax]|AE|=|AC|=b[/mathjax], kde bod E leží na polopřímce AB
Rovnoběžka se stranou [mathjax]c[/mathjax] bodem N protne strany [mathjax]AC[/mathjax] a [mathjax]EC[/mathjax] po řadě v bodech F a G
Protože bod N leží v polovině strany a jsou vzdálenosti [mathjax]|FN|=\frac{c}{2}[/mathjax] a [mathjax]|FG|=\frac{b}{2}[/mathjax]
Pak vzdálenost [mathjax]|GN|=\frac{c}{2}-\frac{b}{2}=|AM|[/mathjax] a tedy úsečka AG je rovnoběžná s úsečkou MN
A protože tr. AEC je rovnoramenný a bod G půlí jeho základnu je úsečka [mathjax]|AG|[/mathjax] těžnicí a zároveň výškou tohoto trojúhelníka
A jak známo, výška na základnu v rovnoramenném tr. půlí úhel u tohoto vrcholu a tedy [mathjax]\delta =\frac{\alpha }{2}[/mathjax]
Odpověď (A) je správně

↑ Honzc:
Z tvojho zápisu mi nie je celkom jasné umiestnenie bodu E, pretože takých trojuholníkov, kde mám iba podmienku [mathjax]|AE|=|AC|=b[/mathjax] si môžem zostrojiť nekonečne veľa a z ďalšieho textu mi vyplýva, že vhodná voľba jeho umiestnenia bude v tomto prípade kľúčová.

Tvoj návod môže byť jednou z možností ako danú úlohu vyriešiť (teda až na to nejednoznačné umiestnenie bodu E, ale verím že sa k tomu vyjadríš), ale ak si dobre pamätám, pri riešení úloh z Klokana nie sú povolené rysovacie pomôcky. Na druhú stranu, možno sa to líši podľa jednotlivých kategórií...ťažko povedať pretože si to nemám ako overiť - na hl. stránke Klokana mi pri pokuse o stiahnutie príslušných dokumentov vyhadzuje chybu servera :-( každopádne ak by to bola pravda a tvoj návod by nebolo možné od začiatku do konca realizovať vo forme náčrtu voľnou rukou a všetky závery a dôsledky z neho plynúce vyčítať iba z tohto náčrtu, tak by bol síce pekný, ale v danej situácii nepoužiteľný.

↑ Honzc:
2. Bol to iba nápad ktorý ma napadol pri pohľade na ten príklad. Mal som predstavu, že jednotlivé dĺžky v jednom trojuholníku sa budú dať vyjadriť pomocou dĺžok v druhom trojuholníku, ale problém by nastal u [mathjax]|MN|[/mathjax] a určite aj pri ďalších (nemám čas to do detailov rozoberať, končí mi obedná pauza).

[mathjax2]|BC|^{2}=|AC|^{2}+|AB|^{2}-2|AB||AC|\cos \alpha [/mathjax2]
[mathjax2]|BN|^{2}=|MN|^{2}+|BM|^{2}-2|MN||BM|\cos \delta [/mathjax2]

Hm tak Klokana kategórie Junior z r. 2017 by som asi nedal :-D

↑ misaH:
Co je na řešení z příspěvku č.6 složitého? Nic jednoduššího podle mne není.

↑ nejsem_tonda:
Dobře, děkuju za všechna řešení, moc jste mi pomohli :)