Matematické Fórum

Ahoj, ty tady vlastně máš příklad, kde figurují dva parametry a, b.
Kdybychom se soustředili na výpočet integrálu z funkce x^b/ln(x) kde x je z intervalu (0, 1), pak by podle mě šla zavést substituce ln(x)=y, následně pak z=-y, dostal by ses vlastně k integrálu z funkce exp(-z(b+1))/z na intervalu (0,nekonečno). Připadá mi, když vezmu b+1 jako parametr, že jde vlastně při derivaci podle parametru už toto spočítat. Souvisí to podle mě vlastně s Laplaceovou transformací, kde by obraz měl existovat, když tolimitně  jde k nule. Ale možná má někdo jiný názor na věc, ve škole jsme se to neučili, znám to jen z internetu.

Tam by to ještě zlobilo pro x blízké jedné, to by nebylo 1/|ln x|<1, to jsem si napoprvé neuvědomila.Tam se mi moc nezdá ten integrál pro meze epsilon, jedna., když si vezmu limitu x^b/(ln x), kde x jde k jedné.

Když ale použiješ ty substituce lnx=y a následně z=-y, tak tě to dovede k integrálu exp(-bz)/z kde meze integralu jdou od nuly do nekonečna, ten bude ale divergovat, zlobí tam ta mez nula resp 1 v zadání toho originálního, to jsem si původně neuvědomila a přehlédla to při derivování. Takže tam budou hrát asi ty oba parametry a, b nějakou roli, bude se to muset vyšetřit asi jako celek.
Tak se omlouvám, nespočítala jsem si tu limitu, tam i ze zadání to je vlastně vidět.

Integroval jsem takto:















Tolik výpočet, bez ověřování předpokladů.

↑ krakonoš:

Právě že ten integrál je dělaný na výpočet záměnou derivace a integrálu - ten výpočet ale vyžaduje splnění 4 podmínek, uvedených v 1.příspěvku. To, že splněny jsou, vím, ale potřebuji to zdůvodnit a hlavně u té 3. a 4. moc nevím jak.

Kdybych vyšla ze svého postupu, tak by stačilo zkoumat omezenost( e^-(bz)  -  e^-(az))/(-z) , bude to závislé zřejmě na rozdílu a-b, když si uvědomím limitu v nule a nekonečnu, v nekonečnu to jde k nule, stačilo by i uvažovat o integrálech od nuly do meze epsilon a o integrálu od epsilon do nekonečna, a u druhého použít omezenost....Potom u exp(-zk) si uvědomit, že parametr k používáme pro k=1,to by pak vedlo ke konvergenci integrálupro nějaké jedno k, jak píšeš ve 4.
Ten tvůj postup mi nedává moc logiku, protože vlastně derivuješ podle parametru půlku integrantu, ten integrál ale diverguje.
Co se týče 3) ,  ([exp(-bz)-exp(-az))/z] * (z/exp(kz)), první člen je omezen, u druhého si uvědomíme že potřebujeme integraci pro k=1, stačí aby k bylo z intervalu např (1/2;3/2), zároveň  platí i že exp(kz)>kz.
Tak nějak by to mohlo fungovat, ale to je jen moje představa, nezkoumala jsem to až moc detailně jestli jsem se někde nesekla.

AHA,
tam by vlastně možná i stačilo vzít třeba (x^b  -x^3  + x^3 -x^a )/ln x a to rozdělit na dva konvergentní integrály o parametrech a, b.
Já raději zvolila ten druhý postup.

Tak už mě napadá jedině

4. předpoklad - volba b = a, tím pádem x^b - x^a = 0, což je určitě z L (0,1)

3. přepoklad - integrovatelná majoranta k absolutní hodnotě z derivace podle parametru -

potřebuji , přitom . Napadá mě . Ale tím si vůbec nejsem jistý.