Matematické Fórum

Skrytý text:

Předpokládám, že "ostře rostoucí" znamená

(1)                                 .

(Já to znám tak, že (1) znamená "rostoucí", narozdíl od   , což znám jako "neklesající".
Ale zvykám si na to, že terminologie není zcela jednotná.) 

Z

(2) 

vyplývá (dosazením a =1, b = 2) , ,  ,  .
Řešme  na množině přirozených čísel. Posloupnost bude mít pouze kladné členy (je rostoucí a f(1) > 0), rovnice v (2) zlogaritmujeme:
 

Jednou z možností je, že kompozice je logaritmickou funkcí při vhodném základu (a pak to snadno dopočítáme - vyjde vskutku
).
Problém jednoznačnosti řešení bude náročnější (snazší by bylo, kdyby šlo o funkci spojité proměnné) - zkusím se nad tím ještě zamyslet.

Skrytý text:

Odhaduji, že zákl. větou aritmetiky se nazývá věta o jednoznačnosti prvočíselného rozkladu. Ano, pokud bychom odhlédli od počáteční podmínky
a rovněž od podmínky na monotonii, stačí definovat funkci f na prvočíslech (jakkoliv) a pro složená př.č. se funkční hodnoty dopočtou (zřejmým
způsobem) podle prvočíselného rozkladu  - samotná funkcionální rovnice pak bude splněna.
Nechť  je rostoucí posloupnost všech prvočísel. Aby hledaná fce f byla rostoucí, musí být nutně . To ale nastačí,
napříkad též je nutno zajistit, aby , tj.  . Podmínek tohoto druhu je ale nekonečně mnoho a zdají se být velmi nesourodé
co do složitosti, počet činitelů na obou stranách takových nerovností může být zcela různý a neomezený, například požadavek
vede k podmínce apod., elementární řešení bych neočekával.

V Tvém předchozím příspěvku minimálně jedné věci nerozumím:  předpokládáme-li , pak je splněno pouze pro
a těžko pak můžeme zajistit, aby , kde zřejmě předpokládáme, že i + 1 je přirozené číslo (?)

Skrytý text:

Mějme reálnou funkci , která je definována na množině přirozených čísel (míním zde kladná přirozená čísla), je tam rostoucí
a splňuje tam funkcionální rovnici

(1)                                     

při počáteční podmínce . Z (1) navíc plyle, že Máme ukázat, že fce je určena předpisem .

Idea: sestrojíme funkci , která bude přirozeným rozšířením funkce na celý interval , a ukážeme, že na tomto intervalu
platí . Budeme postupovat v několika krocích, v nichž některé techické podrobnosti přenechávám případnému čtenáři.

.1.  Pro přirozená čísla   definujme .  Funkce je rozšířením fce do oboru kladných racionálních čísel,
na tomto svém definičním oboru je rostoucí a splňuje tam rovnici (1) .

Pokud bychom bezprostředně uměli dokázat, že funkce je relativně spojitá vzhledem ke svému definičnímu oboru, pak bychom mohli
následující krok s číslem .2. vynechat. Mne ale zatím bezprostřední důkaz uvedeného faktu nenapadá, proto krok .2. provedu.

.2.  Pro racionální čísla , kde , definujme .
Definičním oborem funkce je jistá množnina , která je hustou podmnožinou intervalu  . Funkce je na této množině rostoucí
a splňuje funkcionální rovnici (1).

3. Pro libovolné přirozené je ,

,

odtud a z předchozího plyne, že funkce je spojitá v bodě , prostřednictvím funkcionální rovnice pak přeneseme důkaz zpojitosti
do libovolného bodu množiny , ktará je definičním oborem této funkce.

4. Podle příslušné věty z toplogie existuje jediná funkce definovaná na , která je spojitým rozšířením funkce .
Splnění funkcionální rovnice (1) i monotonie budou zachovány i pro funkci .

5. Funkce nabývají pouze nezáporných hodnot. Položme .
Jde o spojitou rostoucí funkci, která v intervalu splňuje funkcionální rovnici

(2)                    ,

a není těžké ukázat, že  tato funkce má tvar   pro každé . Odtud již snadno důkaz dokončíme .

POZNÁMKA.  Pokud se nemýlím, tak kladné vyřešení naši úlohy říká, že k tomu, aby aditivní funkce h (spňující v R rovnici (2)) byla spojitá,
stačí, aby byla monotonní na množině . EDIT. Tuto poznámku beru zpět.