Matematické Fórum

2M70 · 08. 12. 2020 21:50

Mám najít polohu těžiště kužele
$z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

useknutého válcem
${x^{2}+y^{2}}=ax$

*

Pokud vezmu hustotu za jednotkovou, tak mám např. x-ovou souřadnici těžiště

$\frac{\int_{}^{}xdS}{\int_{}^{}dS}$

Válec:

${x^{2}+y^{2}}=ax\Rightarrow (x-\frac{a}{2})^{2}+y^{2}=(\frac{a}{2})^{2}$

Posunuté válcové souřadnice:
$x=\frac{a}{2}+r\cdot cos\varphi$
$y=rsin\varphi$

z-ová souřadnice: dosadím z rovnice kužele:
$z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
dosadím za x,y a po úpravách

$z=\sqrt{r^{2}+a.r.cos\varphi +\frac{a^{2}}{4}}$

$\varphi \in (0,2\pi ),r\in (0,\frac{a}{2})$

$\frac{\partial F}{\partial r}=(cos\varphi ,sin\varphi ,\frac{2r+a.cos\varphi }{2z})$

$\frac{\partial F}{\partial \varphi }=(-r.sin\varphi ,r.cos\varphi ,\frac{-a.r.sin\varphi }{2z})$

Po provedení vektorového součinu

$\frac{\partial F}{\partial r}x \frac{\partial F}{\partial \varphi }$

dostávám

$(-\frac{2r^{2}cos\varphi +a.r}{2z},-\frac{2r^{2}sin\varphi }{2z},r)$

Po umocnění vektorového součinu a sečtení dostávám

$r^{2}.\frac{4r^{2}+4a.r.cos\varphi +a^{2}}{4z^{2}}+r^{2}=r^{2}.\frac{4r^{2}+4a.r.cos\varphi +a^{2}}{4(r^{2}+a.r.cos\varphi +\frac{a^{2}}{4})}+r^{2}=2r^{2}$

a tedy

$dS=||\frac{\partial F}{\partial r}x\frac{\partial F}{\partial \varphi }||=r.\sqrt{2}$

Pro hmotnost, při jednotkové hustotě, dostávám

$\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\frac{a}{2}}1.\sqrt{2}.r.dr.d\varphi =\frac{\pi }{4}\sqrt{2}a^{2}$

Pro "x" dostávám

$\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\frac{a}{2}}x.dS=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\frac{a}{2}}(\frac{a}{2}+r.cos\varphi ).r.\sqrt{2}drd\varphi=\frac{\sqrt{2}\pi a^{3}}{8}$

A tedy x-ová souřadnice těžiště
$\frac{\pi }{4}\sqrt{2}a^{2} / \frac{\sqrt{2}\pi a^{3}}{8}=\frac{a}{2}$

y-ová souřadnice těžiště:

$\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\frac{a}{2}}1.\sqrt{2}.r.cos\varphi .dr.d\varphi =0$
je tedy nula.

Tyto dvě souřadnice vycházejí tak jak mají.

Blbé to je se třetí souřadnicí - nevím, jak správně dosadit do integrandu, abych dostal správný výlsedek.

Má to vyjít: $\frac{16a}{9\pi }$

Dokáže někdo poradit, jak mám dopočítat tu třetí souřadnici?
Předem díky!

Matematické Fórum

#1 08. 12. 2020 21:50

Plošný integrál 1.druhu - těžiště tělesa

Zápatí