Matematické Fórum

Saturday

Dokažte, že pro $x<>2k\Pi$ platí:

$\sin x + \sin 2x + ... + \sin nx = \frac{\sin \frac{n+1}{2}x \sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}$

Doufám, že se to tady už neřešilo.

Zajímalo by mě i odvození vztahu. Jediný způsob, který znám, jak upravit sin nx je pomocí Moivrovy věty, ale pomocí ní to zřejmě nepůjde aniž by se tam dostala komplexní jednotka.

Děkuju za pomoc

andrew · 09. 01. 2008 20:35

2Saturday : inspirace

Saturday

Díky moc

Pro pochopení formulky, kterou napsal Andrew (jak se skloňuje slovo Andrew? .-) musím psát tvé jméno pouze v prvním pádě), je docela záhodné si přečíst proč je $\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \cos x$ .. přiznám se, že využít sudosti cosinu mě nenapadlo.. => http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula

edit:

$\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2} = \sin x$

tím pak dostaneme stejným postupem jako je na obrázku výše posloupnost, kterou musíme sčítat postupně (záporné součinitele, kladné součinitele + jedničku)

edit II:

tak nakonec jsem se dostal ke jmenovateli toho výsledku mého příkladu, u čitatele nevím, jak to upravit, aby to vyšlo.. ale myslím, že to bude správně..

Matematické Fórum

#1 09. 01. 2008 20:17 — Editoval Saturday (09. 01. 2008 22:29)

sin x + sin 2x +...+ sin nx = ..

#2 09. 01. 2008 20:35

Re: sin x + sin 2x +...+ sin nx = ..

#3 09. 01. 2008 20:45 — Editoval Saturday (09. 01. 2008 22:25)

Re: sin x + sin 2x +...+ sin nx = ..

Zápatí