Matematické Fórum

filipzahorik · 22. 12. 2020 14:30

Zdravím mohl by mi někdo poradit jakou zvolit substituci nějak na to nemůžu přijít. děkuji

[mathjax]\int_{}^{}2/\sqrt{(x^2 -5)}[/mathjax]

Honzc · 22. 12. 2020 15:28 — Editoval Honzc (22. 12. 2020 16:00)

↑ filipzahorik:
Chybí ti tam dx
Použij substituci $x=\frac{z^2+5}{2z}$
Pak $\frac{dx}{\sqrt{x^{2}-5}}=\frac{dz}{z}$
$z=x+\sqrt{x^{2}-5}$
Zbytek sám
Po editaci:
Nebo využij toho, že
$(argcosh\frac{x}{a})'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$

filipzahorik · 22. 12. 2020 18:11

jj na dx jsem zapomněl.
promiň ale jsem úplně mimo kde jsi vzal [mathjax]x=\frac{z^2+5}{2z}[/mathjax] ??

Honzc · 22. 12. 2020 18:58 — Editoval Honzc (22. 12. 2020 19:00)

↑ filipzahorik:
Tak si zkus čemu se při substituci
$x+\sqrt{x^{2}-5}=z$
rovná $\frac{dx}{\sqrt{x^{2}-5}}$
Takovou substitucí se totiž řeší integrály typu $\int_{}^{}R(x,\sqrt{ax^{2}+bx+c})dx$
Ovšem můžeš použít i toho, čemu je rovna ta derivace argcosh(x/a)

filipzahorik · 22. 12. 2020 20:31

Takže je to podle eulerovy substituce [mathjax]\sqrt{x^2-5}=z-x[/mathjax] a [mathjax]dx=\frac{t^2-5}{2t^2}dt[/mathjax]

takže [mathjax]\int_{}^{}\frac{2}{\sqrt{x^2-5}}dx=2*\int_{}^{}\frac{1}{t-\frac{t^2-5}{2t}}*\frac{t^2-5}{2t^2}dt=2*\int_{}^{}\frac{1}{t}dt=2*ln|x+\sqrt{x^2-5}|+c[/mathjax]

filipzahorik · 22. 12. 2020 20:32

omlouvám se v prvním řádku za proměnou z
jsem zvyklý na t

Matematické Fórum

#1 22. 12. 2020 14:30

Integrál

#2 22. 12. 2020 15:28 — Editoval Honzc (22. 12. 2020 16:00)

Re: Integrál

#3 22. 12. 2020 18:11

Re: Integrál

#4 22. 12. 2020 18:58 — Editoval Honzc (22. 12. 2020 19:00)

Re: Integrál

#5 22. 12. 2020 20:31

Re: Integrál

#6 22. 12. 2020 20:32

Re: Integrál

Zápatí