#1 26. 12. 2020 23:59
Linearni zobrazeni
Ahoj. Mame linearni zobrazeni L:[mathjax]R_{4}[/mathjax] [mathjax]\Rightarrow [/mathjax] [mathjax]R_{4}[/mathjax] pro ktere plati:
L([1; 1; 1; 1][mathjax]^{T}[/mathjax] ) = [2; 3; 4; 5][mathjax]^{T}[/mathjax] , L([1;-1; 1;-1][mathjax]^{T}[/mathjax] ) = [1; 2; 5; 6][mathjax]^{T}[/mathjax] , L([-1;-1; 1; 1][mathjax]^{T}[/mathjax] ) = [-1; 5; 1;-1][mathjax]^{T}[/mathjax] ,
L([1; 1; 1;-1][mathjax]^{T}[/mathjax] ) = [-2; 1; 3; 2][mathjax]^{T}[/mathjax] .
Jak určit L([12; 0; 14;-2[mathjax]]^{T}[/mathjax] ).
Jaký bude redpis zobrazeni L pro libovolny prvek [a; b; c; d][mathjax]^{T}[/mathjax].
Offline
#2 27. 12. 2020 00:26 — Editoval laszky (27. 12. 2020 00:42)
Re: Linearni zobrazeni
↑ AdelDdd:
Ahoj.
1)
Zjisti koeficienty [mathjax]\alpha_j[/mathjax] ve vyjadreni
[mathjax](12,0,14,-2)^T \;\; =\;\; \alpha_1\cdot(1,1,1,1)^T\; + \; \alpha_2\cdot(1,-1,1,-1)^T \; + \; \alpha_3\cdot(-1,-1,1,1)^T \; + \; \alpha_4\cdot(1,1,1,-1)^T[/mathjax]
potom plati
[mathjax] L\bigr((12,0,14,-2)^T\bigr) \;\; = \;\; \alpha_1\cdot(2,3,4,5)^T \;+\; \alpha_2\cdot(1,2,5,6)^T \;+\; \alpha_3\cdot(-1,5,1,-1)^T \;+\; \alpha_4\cdot(-2,1,3,2)^T [/mathjax]
2)
Protoze je L linearni zobrazeni z [mathjax]\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4[/mathjax], lze jej reprezentovat matici 4x4.
Hledas tedy matici [mathjax]\mathbb{L}[/mathjax] takovou, ze plati
[mathjax]\mathbb{L}\cdot \left(\begin{array}{rrrr}1&1&-1&1\\1&-1&-1&1\\1&1&1&1\\ 1&-1&1&-1\end{array}\right) =\left(\begin{array}{rrrr}2&\;\,1&-1&-2\\3&2&5&1\\4&5&1&3\\5&6&-1&2\end{array}\right)[/mathjax]
Nasledne
[mathjax]L\bigr((a,b,c,d)^T\bigr) \;\; = \;\; \mathbb{L}\cdot \begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}[/mathjax]
Offline