Matematické Fórum

2M70 · 27. 12. 2020 15:07

Doufám, že jste si užili svátky.

Mám určit sumu $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^6}$

s využitím sum $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{\pi ^{2}}{6}$

a $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^4}=\frac{\pi ^{4}}{90}$ .

Vím, že výsledek má být $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^6}=\frac{\pi ^{6}}{945}$ .

Teď jde o to, jak se k němu dostat.

vanok · 27. 12. 2020 15:49

Ahoj ↑ 2M70:, pekne vianoce.
Pod stromcekom najdes https://math.stackexchange.com/question … ries-of-x2 toto.

2M70 · 28. 12. 2020 20:59

Ahoj ↑ vanok:,

díky za zajímavou stránku, na první pohled to vypadá jako vyřešené, ale každý z těch postupů má nějaké "mouchy":

1. postup - začínající řadou $\sum_{}^{}\frac{\sin nx}{n}$ - tady mi není jasná tato volba řady,

dále nerozumím kroku $\frac{1}{\pi }\int_{0}^{2\pi }[f_{3}(x)]^{2}dx=\frac{2\pi ^{6}}{9}\int_{0}^{1}[x(x-1)(2x-1)]^{2}dx=\frac{\pi^6 }{945}$

2. postup - Bernoulliovy polynomy - $$$$

2. postup - Bernoulliovy polynomy -
$B_{3}(x)=x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x$ ,
$\int_{0}^{1}(B_{3}(x))^{2}$
mi po umocnění, zintegrování a dosazení dává bohužel výsledek $\frac{1}{840}$

3.postup -
Parsevalova rovnost
$\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}dx=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}^{2}+b_{n}^{2})$

$\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}dx=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }|x^{3}|^{2}dx=\frac{1}{\pi }[\frac{x^{7}}{7}]^{\pi }_{-\pi }=\frac{2}{7}\pi ^{6}$

$b_{n}=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }x^{3}\sin (nx)dx=(-1)^{n+1}\cdot \frac{2\pi ^{2}}{n}+(-1)^{n}\cdot \frac{12\pi }{n^{3}}$

Po umocnění/roznásobení tohoto dvojčlenu dostávám

$\frac{144\pi ^{2}}{n^{6}}+\frac{4\pi ^{4}}{n^{2}}-\frac{48\pi ^{3}}{n^{4}}$

mělo by tedy platit

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{144\pi ^{2}}{n^{6}}+\frac{4\pi ^{4}}{n^{2}}-\frac{48\pi ^{3}}{n^{4}}=\frac{2}{7}\pi ^{6}$

což však nevede k cíli.

Má platit tento tvar:

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{144}{n^{6}}+\frac{4\pi ^{4}}{n^{2}}-\frac{48\pi ^{2}}{n^{4}}=\frac{2}{7}\pi ^{6}$

Tak nevím, kde mám chybu.

Rád uvítám i připomínky k prvním dvěma postupům.

Matematické Fórum

#1 27. 12. 2020 15:07

Fourierovy řady - ∑1/n^6 = pi^6 / 945

#2 27. 12. 2020 15:49

Re: Fourierovy řady - ∑1/n^6 = pi^6 / 945

#3 28. 12. 2020 20:59

Re: Fourierovy řady - ∑1/n^6 = pi^6 / 945

Zápatí