Matematické Fórum

philber · 09. 10. 2009 19:50

Ahoj poradili byste mi ako s následujícími příklady

1. zvolte a,b v R aby se limita posloupnosti rovnala 1

$lim (\sqrt{n^2-n+1}-an-b)=1$

2. zvolte a,b v R, b!=0 aby se limita rovnala 1

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt(x^2+1)+a}{bx}=1$

děkuji za nějakou pomoc a nápovědu

Marian · 09. 10. 2009 20:11 — Editoval Marian (09. 10. 2009 20:44)

↑ philber:
U prvého takto:
$\lim_{n\to\infty}\quad\left (\sqrt{n^2-n+1}-(an+b)\right )=\lim_{n\to\infty}\quad\frac{(n^2-n+1)-(an+b)^2}{\sqrt{n^2-n+1}+(an+b)}=\lim_{n\to\infty}\quad\frac{(1-a^2)n^2+(-1-2ab)n+(1-b^2)}{\sqrt{n^2-n+1}+(an+b)}.$
Odtud plyne, že aby limita byla vlastní, je potřeba stanovit podmínku $a=1$ . Potom v čitateli vypadne kvadratický člen. Protože má být limita nenulová (má se rovnat jedné), lze snadno uvážit, že musí dále platit
$-1-2ab\neq 0.$
Potom by se hodnota limity rovnala číslu $-\frac{1+2ab}{a+1}$ , a to dle předpokladu úlohy je rovno jedničce. Nyní stačí dopočítat příslušnou hodnotu b.

Podobně v druhé úloze.

Matematické Fórum

#1 09. 10. 2009 19:50

zvolte a,b v R aby limita...

#2 09. 10. 2009 20:11 — Editoval Marian (09. 10. 2009 20:44)

Re: zvolte a,b v R aby limita...

Zápatí