Matematické Fórum

↑ kastanek:

Ahoj.

Nepomohlo by umiestniť ten ihlan do kvádra 4x4x6?

↑ misaH:
Přemýšlím, přemýšlím, ale nenapadá mě, jak by mi to mohlo pomoct...

↑ Jj:
Děkuji za reakci. Ano, toto já vím. Jde o to že ten kolmý průmět je na "dost divném" místě (mimo stěnu jehlanu a poněkud nad podstavou)... Je to ze středoškolské sbírky, tak jsem myslel, že řešení bude relativně jednoduché.

↑ kastanek:
Ten nápad posunout AV do středu podstavy ([mathjax]S_{AC}[/mathjax]) je dobrý. Kolmý průmět [mathjax]S_{AC}[/mathjax] do stěny [mathjax]BCV[/mathjax] označme K a vzdálenost [mathjax]|S_{AC}K|[/mathjax] spočteš přes sinus v modrém trojúhelníku. A pak už přes sinus snadno dopočteš hledaný úhel v zeleném trojúhelnííku [mathjax]S_{AC}KS_{CV}[/mathjax] ([mathjax]|S_{AC}S_{CV}|[/mathjax] je půlka boční hrany).
https://ibb.co/6Y6xTvT

↑ joluse:
Můžeme. Nikde není napsané, že uvedené řešení bylo jediné možné řešení.

marnes napsal(a):

↑ joluse:
Můžeme. Nikde není napsané, že uvedené řešení bylo jediné možné řešení.

Podle mě to nemůže, protože kolmým průmětem přímky SacScv do roviny BCV není přímka SbcScv. Proto taky Jolusce vyšel výsledek o stupeň jinak (chybně).

↑ joluse:
V tom návodu je to takto: celou přímku AV posuň tak, aby procházela středem podstavy (posunutím zůstává úhel zachován). Tato posunutá přímka protne hranu CV (a tedy rovinu BCV) v bodě Scv, máme tedy vrchol úhlu (a zároveň první rameno úhlu). Dále promítneme kolmo do roviny BCV střed podstavy (leží totiž na posunuté přímce), abychom získali i druhé rameno úhlu (na tom obrázku je to bod K). Nyní máme pravoúhlý trojúhelník SacKScv, ve kterém spočteme délku přepony (=půlka boční hrany jehlanu) a délku protilehlé odvěsny |KSac| (ta tvoří výšku v trojúhelníku SbcSacV, která se dá dopočítat různými způsoby). Pak už jen sínus...

↑ joluse:
Je potřeba si uvědomit, že spojnice Scv a Sbc není úsečka, ale lomená čára. (což byla mimochodem i moje chyba, když jsem se teď letmo podíval na obrázek a nenakreslil jsem si to)
Tím, že to není úsečka, ale lomená čára, tak není možné použít toho trojúhelníku SacSbcScv.

Zkus si načrtnout ten můj postup z #7 (aniž bych tvrdil, že je lepší), je trochu větší a je tam vidět ten pravoúhlý průmět.

↑ joluse:
Ještě ti ukážu jiný postup.
Úhel přímky a roviny je roven doplňkovému úhlu k úhlu sevřenému směrovým vektorem přímky a normálovým vektorem roviny.
Umístěme jehlan do kss takto:
A=(-2,0,0) B=(2,0,0) C=(2,4,0) V=(0,2,6)
Pak rovnice přímky AV (x=-2+2t,y=0+2t,z=0+6t) a směrový vektor a=(1,1,3)
Úseková rovnice roviny BCV [mathjax](\frac{x}{2}+\frac{y}{\infty}+\frac{z}{6}=1\Rightarrow 3x+0y+z-6=0)[/mathjax] a tedy normálový vektor n=(3,0,1)
Pak
[mathjax]\cos (90^\circ -\varphi )=\sin \varphi =\frac{|a\cdot n|}{|a|\cdot |n|}=\frac{|1\cdot 3+1\cdot 0+3\cdot 1|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+3^{2}}\cdot  \sqrt{3^{2}+0^{2}+1^{2}}}=\frac{6}{\sqrt{110}}[/mathjax]