Matematické Fórum

Draffix · 10. 10. 2009 15:21

Ahojte, chtěl jsem se zeptat zda dělám dobrý postup a jak pak pokračovat. Zadání zní:

Poloha hmotného bodu je dána rovnicí $x = 20t-5t^3$ , kde x je v metrech a t
v sekundách.:
(a) Je v některém okamžiku rychlost hmotného bodu nulová? V kladném případě tento okamžik určete.
(b) Kdy je zrychlení $a_x$ hmotného bodu nulové?
(c) Kdy je $a_x$ záporné, kladné?
(d) Nakreslete grafy x(t), $v_x(t)$ a $a_x(t)$ .

Můj postup:
a) ano

vyjádřím si z toho $v_x$ pomocí derivace => $v_x=20-15t^2$
Za $v_x$ dosadím 0 a vznikne mi rovnice $0=20-15t^2$
A z té mi vyjde výsledek $\sqrt{(\frac43)}=t$

b) nevím, $a_x$ bych vypočítal z derivace $v_x$ ale jak dál?
c) to mám napsat teorii nebo jak se to dá zapsat?
d) nemám ponětí

Potřeboval bych s tím trochu poradit a pomoct. Děkuji všem kteří budou ochotni mi s tím pomoct.

LukasM · 10. 10. 2009 17:21

↑ Draffix:
Ahoj.
a) je skoro dobře, akorát nezapomeň že musíš brát i záporné řešení, tedy rychlost hm. bodu je nulová v časech $t_{1,2}=\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$
b) je analogie toho a), potom co derivací zjistíš rovnici pro zrychlení, stačí ji opět položit rovnu nule a spočítat řešení
c) je potřeba prozkoumat tu funkci a určit intervaly t takové, že zrychlení je kladné/záporné
d) jedna funkce je v zadání, druhé dvě už jsi zjistil tím derivováním. Na vodorovné ose bude čas, na svislé poloha, resp. rychlost, resp. zrychlení. Pokud ti to pomůže, přepiš si rovnici pro tu polohu ze zadání jako $y=20x-5x^3$ (přejmenoval jsem proměnné tak, jak je zvykem při kreslení grafů). To by člověku co už umí i derivovat nemělo dělat problémy. Kdyžtak napiš na čem přesně ses zasekl.

Draffix · 10. 10. 2009 20:51

a) jasně, to jsem zapoměl dopsat
b) taky mě to napadlo, ale abych měl ax, musím zderivovat wx a po zderivovaní mi vyjde rovnice 0=-30t a to je ve výsledku 0 ne?
c) právě že moc nechápu ani to zadání, mohl bys vysvětli jak mám určit ty intervaly?
d) jasně díky, ale chci se zeptat jak je možné zapsat tu funkci na grafu? Když budu mít dejme tomu hned tu první rovnici $x = 20t-5t^3$ resp. funkci tak jak to udělat? Když tak jestli víš nějakou stránku kde by to bylo znázorněno jak to vypadá.

Ale jinak díky moc

LukasM · 10. 10. 2009 21:34

↑ Draffix:
b) no, to máš pravdu. Je to ve výsledku nula. V čem je problém?
c) napiš si nerovnici, tj. -30t>0 a když ji vyřešíš, dostaneš hodnoty t, pro které je zrychlení kladné. Jak se řeší taková nerovnice tady snad netřeba rozebírat.
d) graf té první funkce je na nakreslení zrovna nejsložitější. Dá se to přibližně nakreslit tak, že si to rozdělíš na 20t a -5t^3 a pak uvažuješ jak dopadne součet takových funkcí. Pro detaily je potřeba najít průsečíky s osami, extrémy, inflexní body a tak - to tu není takový problém, protože s derivacemi této funkce se v úloze stejně pracuje.
Nakreslit graf té rychlosti už je lehčí - je to součet funkce v=-15t^2 a v=20, tedy dost natažená parabola otočená vrcholem nahoru a posunutá o 20 jednotek nahoru. O grafu zrychlení ani nemluvím - to bude hodně dolů nakloněná přímka procházející počátkem.
Detaily tu rozepisovat asi nebudu, pokud řešíš úlohy ve kterých se vyskytují derivace, měli byste tohle mít dávno v matematice probrané, takže bych to možná psal zbytečně. Navíc už to nepatří do fyzikální sekce.

Ale rozhodně se ptej dál, pokud něco není jasné.

Jinak hrát si s grafy funkcí se dá třeba tady.

Matematické Fórum

#1 10. 10. 2009 15:21

Zrychlení aneb jak postupovat?

#2 10. 10. 2009 17:21

Re: Zrychlení aneb jak postupovat?

#3 10. 10. 2009 20:51

Re: Zrychlení aneb jak postupovat?

#4 10. 10. 2009 21:34

Re: Zrychlení aneb jak postupovat?

Zápatí