Matematické Fórum

Ahoj,

mám problém s nehomogenní Eulerovou diferenciální rovnicí 2.řádu:

x^2 . y´´ + 2 . x . y´ = 1/2 . ln (x)

Převedu na diferenciální rovnici 2.řádu.

Homogenní rovnice:

y . . + y . = 0

Řešení: {0, -1}

y  = C_1 + C_2 . e^(-t)

1/2  ln(x) = 1/2  t

Nehomogenní:

y . . + y . = 1/2 t

Variace konstant:

| 1    e^(-t) |  | 0       | 
| 0  - e^(-t) |  | 1/2  t |
D = - e^(-t)

(+ Cramerovo pravidlo)

D1:
| 0         e^(-t) | 
| 1/2 t  - e^(-t) |
=  - 1/2 t . e^(-t)

D2:
| 1       0| 
| 0  1/2 t|
= 1/2 t

C1´= - 1/2 t . e^(-t) / - e^(-t) = 1/2 t

C2´= 1/2 t  /  - e^(-t) = - 1/2 t . e^t

C1 = 1/4 t^2

C2 = -1/2 (e^t + t . e^t)

C1 * 1 =  1/4 t^2
C2 * e^(-t) = -1/2 *  e^t * e^(-t)  -1/2 (e^t + t . e^t) * e^(-t) =  -1/2 – 1/2  - 1/2* t = -1 -1/2 . t

y  =  C_1 + C_2 . e^(-t) + 1/4 .t^2  - 1/2.t  - 1

Návrat k proměnné „x“:

y  =  C_1 + C_2 . x^-1  + 1/4 .(ln (x))^2  - 1/2.(ln (x)  - (???)
…tady nevím, „co se stane z jedničky“.

A

má vyjít:

y  =  C_1 + C_2 . x^-1  + 1/4 .(ln (x))^2  - 1/2.(ln (x)

*

A k dispozici mám tento „záhadný“ způsob řešení:

y_p = (K_1 * ln(x)  + K_2) * ln (x)  - ??? Nechápu

-2K_1*ln(x) + 2 K_1 + 4 K_1*ln(x) – K_2 + 2 K_2 = 1/2  ln(x) - ??? taky není jasné

2 K_1 = 1/2 ,
K_2 + 2 K_1 = 0
→ K_2 = - 1/2 ,
K_1 = 1/4

A
y(x) = C_1 + C_2 . x^-1  + 1/4 .(ln (x))^2  - 1/2.(ln (x)

*

Navíc má rovnice splňovat:

y(1) = 0,
y(4) = 1 + (ln(2))^2 – ln (2)

z první rovnice má plynout

C_1 + C_2 = 0, C_2 = - C_1

Z druhé

C_1 + 1/4 C_2 + (ln(2))^2 – ln (2) = 1 + (ln(2))^2 – ln (2),

3/4 C_1 = 1 → C_1 = 4/3, C_2 = - 4/3,

Celkem má vyjít

y(x) = 4/3 (1 – 1/x) + 1/4 (ln(x))^2 – 1/2 ln(x),
x náleží [1, 4].