Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 11. 02. 2021 14:04

Riolu44
Zelenáč
Příspěvky: 3
Škola: MFF UK
Reputace:   
 

Topologie

Dobrý den,
dostalo se mi do ruky následující tvrzení a nemůžu hnout s důkazem. Dokázal by mi, prosím, někdo poradit?

Nechť X je kompaktní Hausdorffův TP. Označme jako Y množinu všech kompaktních neprázdných podmnožin X.
Na Y definujme topologii tak, že její subbáze je tvořena všemi množinami tvaru

[mathjax]\Gamma (U) := \{K\in Y: K \subseteq U\},
[/mathjax]

[mathjax]
\Lambda(V) := \{K\in Y: K\cap V \neq\emptyset\},
[/mathjax]

pro U, V otevřené v X.
Potom
(a) Y je topologický prostor, který je kompaktní a Hausdorffův;
(b) existuje vnoření X do Y.

Offline

 

#2 16. 02. 2021 20:32 — Editoval Brano (16. 02. 2021 21:16)

Brano
Příspěvky: 2612
Reputace:   227 
 

Re: Topologie

Hausdorffovost:

Nech $K,L$ su rozne kompaktne podmnoziny $X$. Potom existuje $x\in L\setminus K$ alebo $x\in K\setminus L$. Bez ujmy na vseobecnosti predpokladajme prvu moznost.
Vsimni si, ze $X$ je regularny, teda existuje otvorena $V$ taka, ze $x\in V\subseteq\overline{V}\subseteq K^c$.
Over, ze $L\in\Lambda(V)$, $K\in\Gamma(\overline{V}^c)$, $\Lambda(V)\cap\Gamma(\overline{V}^c)=\emptyset$.

Kompaktnost: Pouzijeme Alexandrovu vetu o subbaze. Teda chceme dokazat, ze z kazdeho subbazoveho pokrytia $Y$ sa da vybrat konecne podpokrytie.

Nech $\mathcal{U}$ je otvorene pokrytie $Y$ pomocou prvkov subbazy. Nech $\mathcal{V}=\{V;\ \Lambda(V)\in\mathcal{U}\}$ a $W=\cup\mathcal{V}$. Potom $W$ je otvorena a $W^c$ je kompaktna. Ak $W^c\not=\emptyset$, tak $W^c\in Y$, cize exisuje otvorene $U$ take, ze $W^c\in\Gamma(U)\in\mathcal{U}$. (Rozmysli si preco a tiez si potom rozmysli specialny pripad, ked $W^c=\emptyset$.) Mnozina $U^c(\subseteq W)$ je kompaktna, teda sa da pokryt konecne vela prvkami z $\mathcal{V}$, povedzme $V_1,...,V_n$.
System $\{\Gamma(U),\Lambda(V_1),...,\Lambda(V_n)\}$ je konecne podpokrytie $\mathcal{U}$.

Vnorenie:

Funkcia $f:X\to Y$ dana $f(x)=\{x\}$ ma pozadovane vlastnosti, over. Potrebujes overit, ze topologia co sa indukuje na jednoprvkove podmnoziny je homeomorfna s povodnou.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson