Matematické Fórum

Riolu44 · 11. 02. 2021 14:04

Dobrý den,
dostalo se mi do ruky následující tvrzení a nemůžu hnout s důkazem. Dokázal by mi, prosím, někdo poradit?

Nechť X je kompaktní Hausdorffův TP. Označme jako Y množinu všech kompaktních neprázdných podmnožin X.
Na Y definujme topologii tak, že její subbáze je tvořena všemi množinami tvaru

[mathjax]\Gamma (U) := \{K\in Y: K \subseteq U\},
[/mathjax]
[mathjax]
\Lambda(V) := \{K\in Y: K\cap V \neq\emptyset\},
[/mathjax]
pro U, V otevřené v X.
Potom
(a) Y je topologický prostor, který je kompaktní a Hausdorffův;
(b) existuje vnoření X do Y.

Brano · 16. 02. 2021 20:32 — Editoval Brano (16. 02. 2021 21:16)

Hausdorffovost:

Nech $K,L$ su rozne kompaktne podmnoziny $X$ . Potom existuje $x\in L\setminus K$ alebo $x\in K\setminus L$ . Bez ujmy na vseobecnosti predpokladajme prvu moznost.
Vsimni si, ze $X$ je regularny, teda existuje otvorena $V$ taka, ze $x\in V\subseteq\overline{V}\subseteq K^c$ .
Over, ze $L\in\Lambda(V)$ , $K\in\Gamma(\overline{V}^c)$ , $\Lambda(V)\cap\Gamma(\overline{V}^c)=\emptyset$ .

Kompaktnost: Pouzijeme Alexandrovu vetu o subbaze. Teda chceme dokazat, ze z kazdeho subbazoveho pokrytia $Y$ sa da vybrat konecne podpokrytie.

Nech $\mathcal{U}$ je otvorene pokrytie $Y$ pomocou prvkov subbazy. Nech $\mathcal{V}=\{V;\ \Lambda(V)\in\mathcal{U}\}$ a $W=\cup\mathcal{V}$ . Potom $W$ je otvorena a $W^c$ je kompaktna. Ak $W^c\not=\emptyset$ , tak $W^c\in Y$ , cize exisuje otvorene $U$ take, ze $W^c\in\Gamma(U)\in\mathcal{U}$ . (Rozmysli si preco a tiez si potom rozmysli specialny pripad, ked $W^c=\emptyset$ .) Mnozina $U^c(\subseteq W)$ je kompaktna, teda sa da pokryt konecne vela prvkami z $\mathcal{V}$ , povedzme $V_1,...,V_n$ .
System $\{\Gamma(U),\Lambda(V_1),...,\Lambda(V_n)\}$ je konecne podpokrytie $\mathcal{U}$ .

Vnorenie:

Funkcia $f:X\to Y$ dana $f(x)=\{x\}$ ma pozadovane vlastnosti, over. Potrebujes overit, ze topologia co sa indukuje na jednoprvkove podmnoziny je homeomorfna s povodnou.

Matematické Fórum

#1 11. 02. 2021 14:04

Topologie

#2 16. 02. 2021 20:32 — Editoval Brano (16. 02. 2021 21:16)

Re: Topologie

Zápatí