Matematické Fórum

↑ fariet:
Tak to je móc hezká úloha. Viděl bych to takto: jestliže populaci ve městě označím jako $a_n$ a populaci na vesnici jako $b_n$, kde $n$ označuje roky, tak rekurentní vyjádření populace ve městě je $a_{n+1}=0,95a_n+0,03b_n$.
Populace na začátku jsou $a_0=b_0$, celkem $2a_0$ a na vesnici je tedy $b_n=2a_0-a_n$. Dosazením do předpisu pro město dostáváme
$$a_{n+1}=0,95a_n+0,03(2a_0-a_n)=0,92a_n+0,06a_0.$$
Tu nejlepší část, odvození vzorce pro n-tý člen, prozatím ponechám na tobě ;-)

↑ fariet:
Ta poslední věta: tomu obecnému vzorci, pomocí kterého se z něčeho dopočítává něco dalšího, se říká MATEMATIKA.
A ten vzorec pro n-tý člen zkus tak, že si vyjádříš prvních pár členů pomocí $a_0$, pak už by to mohlo být jasné...

↑ fariet:
Tak označ třeba $k$ ten násobek, jímž se násobí kvůli úbytku ve městě (v našem případě 0,95) a $l$ násobek, jímž se násobí kvůli přílivu z vesnice (zde těch 0,03). Pak rekurentní rovnice je
$a_{n+1}=(k-l)\cdot a_n+2l{a}_0$
Zde bych si pro přehlednost přeznačil $k-l=r$ a $2l{a}_0=s$. Nyní si vypiš prvních pár členů posloupnosti
$a_1=r\cdot a_0+s$,
$a_2=r\cdot (r\cdot a_0+s)+s=r^2{a}_0+rs+s$,
$...$
a z toho už (snad) odvodíš vzorec pro n-tý člen.

↑ kaja.marik:
Přečti si ten příspěvek. Z rekurentního vzorce snadno odvodíš vzorec pro n-tý člen a do něj stačí dosadit.

Jde o Markovův řetězec se 2 stavy, matice pravd. přechodu je:

    0,95   0,05
    0,03   0,97

Zkuste najít stacionární rozdělení.
Více o Markovových řetězcích je též na
    http://www.tucekweb.info/Matem/Vys_mat/MP&SP.html

↑ check_drummer:

Také tomu tak rozumím, že se mohou stěhovat neomezeně.
Když jsou ve městě, tak se příští rok na 5% přestěhují na vesnici, na 95% setrvají ve městě.
Pokud se přestěhují na vesnici, tak tam do dalšího roku na 97% setrvají, na 3% se přestěhují zpátky do města.

Stacionární rozdělení vyhovuje vztahu: (Pi1, Pi2) * matice pravd přechodů = (Pi1, Pi2)
Vyšlo mi Pi1= 3/8; Pi2= 5/8
Matice pravd. přechodů viz příspěvek dříve.