Matematické Fórum

Ahoj ↑ kastanek:,
Jedna mozna metoda:
Napriklad urci characteristicky polynom matice A a vyuzi jeho vlasnosti.

↑ vanok:
To vypadá zajímavě. O jakou konkrétní vlastnost by šlo? O ch. polynomu vím jen to, že se dá využít na řešení LDF...

Ahoj ↑ david_svec:,
Tvoja metoda je rychlejsia ako tu co som navrhol.  👍

↑ kastanek:,
To mozes  dokazat taky vzorec...  iste ti to da dobry pocit, ked to dokazes.
( vlastne ten vzorec doplnky ten vysledok, co som vyssie napisal, ktory znamena, ze A a l generuju kazdu mocninu matice A ....)
Aj v metode z #3, treba dokazat nejake vlasnosti, ak  chces mat ryclejsie konecny vysledok. 

Tak dobre pokracovanie.

↑ check_drummer:
Jj, to mě napadlo taky, ale ani nejde o tento konkrétní příklad, spíš mě to zajímalo obecně.

Pozdravujem ↑ MichalAld:,
Tu je matica v C diagonalizovatelna a jej vlastne hodnoty su komplexne. ( ) I ked metoda je dokonala, no vsak  je na rucne pocitanie nie velmi sympaticka.

Díky všem za inspirativní nápady!

Obecně bych si zkusil rozložit matici A na součet matic B+C
[mathjax]
A=\begin{pmatrix}a & b \\c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & 0 \\0 & d \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & b \\c & 0 \end{pmatrix}=B+C



[/mathjax]
Jestliže
[mathjax]
B^{^{i}}=\begin{pmatrix}a^{i} & 0 \\0 & d^{i} \end{pmatrix},



[/mathjax]


[mathjax]C^{^{2k+1}}=\begin{pmatrix}0&b^{k+1}.c^{k}   \\ c^{k+1}. b^{k}&0\end{pmatrix},



[/mathjax]  [mathjax]


C^{^{2k}}=\begin{pmatrix}b^{k}.c^{k}&0   \\ 0&b^{k}.c^{k}\end{pmatrix}[/mathjax]

myslím, že můžeme použít binomickou větu a obecně spočítat maticové součty [mathjax]
B^{n-i}*C^{i}


[/mathjax] zvlášť pro liché a sudé i. Vždy je
[mathjax]
B^{n-2k}*C^{2k}=\begin{pmatrix}...&0   \\ 0&...\end{pmatrix}
[/mathjax]

[mathjax]
B^{n-(2k+1)}*C^{2k+1}=\begin{pmatrix}0&...   \\ ...&0\end{pmatrix}
[/mathjax]

Pro výslednou matici [mathjax]
A^{n}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}


[/mathjax] mi z toho vyšlo například pro [mathjax]a_{11}[/mathjax]

[mathjax]
a_{11}=\sum_{_{k=0^{}}}^{n/2}\begin{pmatrix}n \\2k \end{pmatrix}.a^{n-2k}.b^{k}.c^{k}



[/mathjax]

vanok napsal(a):

Tu je matica v C diagonalizovatelna a jej vlastne hodnoty su komplexne. ( ) I ked metoda je dokonala, no vsak  je na rucne pocitanie nie velmi sympaticka.

No, nedalo mi to, jestli bych se touhle cestou nakonec k výsledku nedopracoval ... takže ve jménu kréda proč to dělat jednoduše když to jde i složitě jsem přišel na to, že matici vlastních čísel lze napsat jako:

[mathjax]J = \sqrt{19}\pmatrix{e^{-\varphi} & 0 \\ 0 & e^{\varphi}}[/mathjax]

kde [mathjax]\sin \varphi = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{19}}, \cos \varphi=\frac{4}{\sqrt{19}}[/mathjax]

Takže když ji budeme chtít umocnit na n-tou, tak prostě

[mathjax]J^n = \sqrt{19^n}\pmatrix{e^{-n\varphi} & 0 \\ 0 & e^{n\varphi}}[/mathjax]

Úhel určíme podle jednoho z těch vztahů (sin nebo cos). Pak to přenásobíme maticemi vlastních vektorů a máme výsledek. Hledání matic vlastních vektorů ovšem není moje nejsilnější stránka, takže jsem poprosil wolfram - je to až na konci. Takže pak

[mathjax]A^n = S J^nS^{-1}[/mathjax]

No a říkal jsem si, že by to mohlo jít rovnou vynásobit ... takže po "drobných úpravách" jsem se dohrabal k celkem jednduchém výsledku...

[mathjax]A^n = \sqrt{19^n} \pmatrix{ \cos n\varphi - \frac{1}{\sqrt{3}} \sin n\varphi &- \frac{2}{\sqrt{3}} \sin n \varphi \\ \frac{2}{\sqrt{3}} \sin n \varphi & \cos n\varphi+ \frac{1}{\sqrt{3}} \sin n\varphi}[/mathjax]

Pokud bychom tedy měli obecné n, tak už to můžeme celkem snadno počítat. Pro jedno konkrétní n to asi nestojí za tu práci. A nevím, jestli je to správně, zkoušel jsem to jen pro n=1.

Ještě mě taky trápilo, že umocňováním matice s celočíselnými hodnotami určitě zase musíme dostat celočíselnou matici. Zatímco tady ty siny a cosiny jsou taková divnočísla...

Tak jsem ještě našel, že pomocí Čebyševových polynomů se dá napsat, že:
[mathjax]\cos n \varphi = T_n(cos \varphi)[/mathjax]
[mathjax]\sin n \varphi = U_{n-1}(cos \varphi) \sin \varphi[/mathjax]
kde Tn je Čebyševův polynom prvního druhu (stupně n) a Un je Čebyševův polynom druhého druhu. Tyhle polynomy mají celočíselné koeficienty a dají se nějak rekurzivně odvozovat...nevím jesli je to vhodné k počítání, ale poskytuje to vysvětlení, jak se zpátky dohrabeme k těm celočíselným výsledkům.

Tak mi to nedalo, a zkusil jsem to i pro n=31. Normálně jsem si vypočítal to

[mathjax]\varphi = \arccos \frac{4}{\sqrt{19}}[/mathjax]

vynásobil 31, a spočítal zase ty siny a cosiny. Nesmí se moc zaokrouhlovat (určitě aspoň 20 platných číslic), a pak vyjdou koeficienty matice po řadě:

61 965 614 963 055 093 447      -7 734 923 104 529 677 898
7 734 923 104 529 677 898      69 700 538 067 584 771 345

Což je zřejmě správně, protože wolframu to tak taky vychází.

Jasně, musíme vědět, že to mají být celá čísla, abychom věděli, jak to oříznout, ale ono je to docela znatelné...

např. 1. koeficient mi vyšel:
61965614963055093447.000000000019096...

Ááá ... ono to mělo být na 13, já myslel že na 31...