Matematické Fórum

radowan · 12. 10. 2009 17:38

Prosim o pomoc. Potrebujem najst excentricitu a ohniska tejto hyperboly: xy+5x-2y-a=0. Diky moc!!!

Tychi · 12. 10. 2009 17:42 — Editoval Tychi (12. 10. 2009 17:43)

↑ radowan: Převeď rovnici na středovou viz např. zde a pak už to vyčteš.

Nebo je postup jasný a jen něco nevychází?

radowan · 12. 10. 2009 17:47

Problem je v najdeni stredoveho tvaru danej rovnice ;)

zdenek1

↑ radowan:

Tak si to vyjádři jako funkci
$y=\frac{a-5x}{x-2}$ (skutečně je tam tem parametr?)

Pokud $a=10$ tak to není hyperbola, ale přímka.
Pokud je $a\neq10$ je to hyperbola s asymptotami $x=2$ , $y=-5$ a středem $S[2;-5]$

Protože je to hyperbola typu $y=-\frac{1}{x}$ , je hlavní osy hyperboly rovnoběžná s přímkou $y=-x$ a prochází středem.
Tahle přímka protíná hyperbolu ve dvou bodech jejichž vzdálenost je $2a$ , kde $a$ je hlavní poloosa.

Protože ta hyperbola je rovnoosá ( $a=b$ ), z rovnice $e^2=a^2+b^2$ vypočítáš excentricitu.
No a ohniska jsou na oné přímce ve vzdálenosti $e$ od středu.

radowan · 12. 10. 2009 18:45

Hmm, ten parameter tam, hmm, hmm .... Mohol by som poprosit komplet riesenie?? Diky mooc!!!

zdenek1 · 12. 10. 2009 20:29

↑ zdenek1:

Takže přímka procházející bodem $[2,-5]$ se směrnicí $-1$ má rovnici
$y+5=-(x-2)\ \Rightarrow\ y=-x-3$
Tahle přímka protíná hyperbolu $xy+5x-2y-a=0$ . Tak dostaneme rovnici (dosadíme za $y$ )
$x^2-4x-6+a=0$
Ta má řešení $x_{1,2}=2\pm\sqrt{10-a}$ $a<10$

$y_{1,2}=-5\mp\sqrt{10-a}$
Nyní vypočítáme vzdálenost průsečíků $P_1[x_1,y_1]$ a $P_2[x_2,y_2]$
$|P_1P_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=2\sqrt{2(10-a)}=2A$ , kde $A$ je hlavní poloosa.

Protože hyperbola je rovnoosá (to se pozná podle toho, že má kolmé asymptoty), platí $A=B$ ,
kde $B$ je vedlejší poloosa, a platí
$e^2=A^2+B^2=2A^2\ \Rightarrow\ e=\sqrt{2}A=2\sqrt{10-a}$

Teď už jenom spočítat body, které leží na přímce $y=-x-3$ a mají od $S$ vzdálenost $e$ .

V případě, že $a>0$ tak ta hyperbola není typu $y=-\frac{1}{x}$ , ale $y=\frac{1}{x}$ a přímka
bude mít směrnici $1$ . Postup bude stejný.

Stačí?