Matematické Fórum

Marian · 12. 10. 2009 18:30

Dokažte, že řada

$\sum_{n=2}^{\infty}\;\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$

konverguje, zatímco řada

$\sum_{n=2}^{\infty}\;\frac{1}{(\ln n)^{\ln\ln n}}$

je divergentní.

Pozn.: Buďte při řešení co nejelementárnější.

Pavel Brožek

Vyřešil jsem konvergenci první řady, druhou jsem zatím nezkoumal.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pavel Brožek · 12. 10. 2009 20:39

Podle svých čmáranic na papíře bych to velmi podobně mohl provést i pro divergenci druhé sumy. Ale v ničem podstatném by se to nelišilo, takže přenechám řešení ostatním.

Pavel · 19. 11. 2009 14:20

$\sum_{n=2}^{\infty}\;\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}=\sum_{n=2}^{\infty}\;\frac{1}{e^{\ln n\cdot\ln\ln n}}=\sum_{n=2}^{\infty}\;\frac{1}{n^{\ln\ln n}}=\sum_{n=2}^{[e^{e^2}]}\;\frac{1}{n^{\ln\ln n}}+\sum_{n=[e^{e^2}]+1}^{\infty}\;\frac{1}{n^{\ln\ln n}}<K+\sum_{n=[e^{e^2}]+1}^{\infty}\;\frac{1}{n^2}\,<\,\infty$ .

$\sum_{n=2}^{\infty}\;\frac{1}{(\ln n)^{\ln\ln n}}=\sum_{n=2}^{\infty}\;\frac{1}{e^{(\ln\ln n)^2}}\,>\sum_{n=2}^{\infty}\;\frac{1}{e^{\ln n}}=\sum_{n=2}^{\infty}\;\frac{1}{n}=\infty$ .

Marian · 01. 12. 2009 20:56

↑ Pavel:
Velmi hezké ...

Matematické Fórum

#1 12. 10. 2009 18:30

Říjnová konvergence řad

#2 12. 10. 2009 20:00 — Editoval BrozekP (12. 10. 2009 20:37)

Re: Říjnová konvergence řad

#3 12. 10. 2009 20:39

Re: Říjnová konvergence řad

#4 19. 11. 2009 14:20

Re: Říjnová konvergence řad

#5 01. 12. 2009 20:56

Re: Říjnová konvergence řad

Zápatí