Matematické Fórum

2M70 · 12. 03. 2021 10:39

Tak s tímhle asi nepohnu:

Mám zadanou funkci

$x^{2}-y^{2}+5x+y-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}$

CR-podmínky celkem vycházejí, ale když počítám druhé parciální derivace, dostávám "hnusy" (rozepisovat je sem by zabilo drakonicky dlouhou dobu). Hlavně tam dělají "bordel" ty zlomky.

Nejvíc si nevím rady, jak dojdu k výrazu

$f(z)=u(Re(z), Im(z)+iv(Re(z), Im(z)$

Ví někdo, jak na to?

surovec · 12. 03. 2021 11:37

↑ 2M70:
Asi by bylo lepší dát sem celé zadání. Zadaná funkce vypadá jako reálná dvou reálných proměnných, požaduješ ale komplexní funkci jedné komplexní proměnné a ještě tam máš pomatené závorky...

Richard Tuček

Pokud jde o funkci 2 proměnných, myslím, že určit parciální derivace 2. řádu není tak těžké.
O CRP podmínkách mluvíme, když máme funkci komplexní proměnné
f(z)=f(x+iy)=P(x;y)+iQ(x+y)
dP/dx=dQ/dy
dQ/dx=-dP/dy

2M70 · 13. 03. 2021 15:31

↑ Richard Tuček:

CRp OK, tak už jde jen o ten poslední úkol -

získat ten výraz

$f(z)=u(Re(z), Im(z)+iv(Re(z), Im(z)$ .

Možná je to jednoduché, jen na to nedokážu přijít.

Richard Tuček · 13. 03. 2021 15:46

Jak přesně zní zadání příkladu?

2M70 · 13. 03. 2021 15:55

Úplné zadání je:

Uvažujte funkci

$x^{2}-y^{2}+5x+y-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}$

1) Ověřte, zda (a kde) je daná funkce harmonická a na dané oblasti nalezněte funkci „v(x,y)“ k ní harmonicky sdruženou rozřešením CR-podmínek (…)

2) Harmoničnost získané funkce „v“ ověřte výpočtem (tím si provedete kontrolu).

3) Určete následně explicitní tvar funkce f(z), definované z „u“ a „v“ pomocí

$f(z)=u(Re(z), Im(z)+iv(Re(z), Im(z)$

a diskutujte její holomorfnost.

jarrro · 13. 03. 2021 17:02 — Editoval jarrro (13. 03. 2021 17:06)

Stačí overiť či druhé parciálne derivácie sú spojité a či ich súčet je nulový
v zistíš CR- podmienkami
Teda ak máš definíciu ako tu https://en.m.wikipedia.org/wiki/Harmonic_function

Richard Tuček

Tak tedy: položme P(x;y)= ten výraz
spočteme dP/dx
z CRP plyne dP/dx=dQ/dy
spočítáme neurčitý integrál z dP/dx podle proměnné y (pozor + C(x))
spočteme dP/dy=-dQ/dx
spočítáme neurčitý integrál z -dP/dy podle proměnné x (pozor + C(y))
výsledky porovnáme snad se z toho něco vykouká.
Harmoničnost ověříme pomocí nulového laplasiánu, tj součet d2P/dx2+d2P/dy2=0

podobné příklady jsou též na mém webu www.tucekweb.info (sekce matematika)

2M70 · 13. 03. 2021 18:48

↑ Richard Tuček:

To jsou první dva body toho zadání a jsou mi už jasné. Teď jde ještě o ten třetí bod - tam nevím:

3) Určete následně explicitní tvar funkce f(z), definované z „u“ a „v“ pomocí

$f(z)=u(Re(z), Im(z)+iv(Re(z), Im(z)$

a diskutujte její holomorfnost.

Richard Tuček · 13. 03. 2021 18:54

z=x+iy
f(z)=P(x;y)+iQ(x;y)
Re(z)=x; Im(z)=y;

viz dříve

asi píšu místo u(Re(z);Im(z))=P(x;y)

2M70 · 14. 03. 2021 18:49

Já na to snad nikdy nepřijdu...nerovnají se mi ty 2.parciální derivace....

$\frac{\partial u}{\partial x}= 2x+5 - \frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$

$\frac{\partial u}{\partial y}= -2y+1 + \frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$

ale zatímco 2.derivace podle "x" vychází

$\frac{\partial ^2}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}(2x+5 - \frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}})=2-\frac{2y(x^{2}+y^{2})^{2}-2xy.2x.2.(x^{2}+y^{2})} {(x^{2}+y^{2})^{4}}$

tak podle "y":

$\frac{\partial ^2}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}(-2y+1 + \frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}})=-2+\frac{2y(x^{2}+y^{2})^{2})+(x^{2}-y^{2})2y.2.(x^{2}+y^{2})} {(x^{2}+y^{2})^{4}}$

takže se nerovnají členy

$-2xy.2x.2$
a
$(x^{2}-y^{2})2y.2$

Jinak by byl součet druhých parciálních derivací nulový a harmoničnost potvrzena.

Tak nevím, kde tam dělám chybu....

jarrro · 14. 03. 2021 21:54

$\frac{\partial ^2}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}(-2y+1 + \frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}})=-2+\frac{2y(x^{2}+y^{2})^{2})+(x^{2}-y^{2})2y.2.(x^{2}+y^{2})} {(x^{2}+y^{2})^{4}}$ $u=x^{2}-y^{2}+5x+y-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\nl \frac{\partial u}{\partial x}= 2x+5 \color{red}+\color{black} \frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\nl \frac{\partial u}{\partial y}= -2y+1 + \frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\nl \frac{\partial ^2u}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}(2x+5 +\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}})=2+\frac{2y$x^{2}+y^{2}$^{2}-2xy2$x^{2}+y^{2}$2x} {$x^{2}+y^{2}$^{4}}=2+\frac{2y$x^{2}+y^{2}$-8x^2y} {$x^{2}+y^{2}$^{3}}\nl \frac{\partial ^2u}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}(-2y+1 + \frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}})=-2+\frac{2y$x^{2}+y^{2}$^{2}+$x^{2}-y^{2}$2y.2.$x^{2}+y^{2}$} {(x^{2}+y^{2})^{4}}=-2+\frac{2y$x^{2}+y^{2}$+4y$x^{2}-y^{2}$} {(x^{2}+y^{2})^{3}}$

2M70 · 14. 03. 2021 22:12

↑ jarrro:

Díky moc za podrobný výpočet!

Koukám, že to celé zhatilo jediné znaménko...

2M70 · 15. 03. 2021 16:15

Mám tedy

$u = x^{2}-y^{2}+5x+y-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}$

a vypočítal jsem

$v = 2xy+5y-\frac{x}{x^{2}+y^{2}} - x + C$

Našel jsem, že v komplexním tvaru má vyjít:

$z^{2}+(5-i).z-\frac{i}{z}+iC$

Ale nevím, jak k tomu dojdu.

2M70 · 15. 03. 2021 16:26

Ještě mě napadá - ani "u", an "v", nebude holomorfní přinejmenším v počátku - $0+0=0$ ve jmenovateli, resp. tam, kde

$x^{2}+y^{2}=0$
a
$z = 0$

jarrro · 15. 03. 2021 18:36

$z=x+y\mathrm{i}\nl z^2=$x+y\mathrm{i}$^2=x^2-y^2+2xy\mathrm{i}\nl \frac{1}{z}=\frac{1}{x+y\mathrm{i}}=\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}\mathrm{i}$

2M70 · 15. 03. 2021 18:43

↑ jarrro:

Díky moc, už je mi to jasné.

A "ne-holomorfnost" je jen v počátku (tam vlastně diverguje), nebo ještě někde jinde?

jarrro · 16. 03. 2021 05:57

Kazí to iba tá časť $\frac{\mathrm{i}}{z}$ ktorá je holomorfná všade okrem počiatku. Prirodzené mocniny a konštanty sú holomorfné úplne všade.

2M70 · 16. 03. 2021 10:09

↑ jarrro:

A pokud jde o funkce "u" a "v", ty jsou taky holomorfní všude kromě počátku (tj. nula ve jmenovateli)?

jarrro · 17. 03. 2021 05:40

Čo znamená holomorfnosť pre reálnu funkciu dvoch reálnych premenných?

2M70 · 17. 03. 2021 09:51

↑ jarrro:

Máš pravdu, bllbě jsem si přečetl zadání. Holomorfnost reálné funkce reálných proměnných je opravdu kravina. Díky moc za upozornění.

Matematické Fórum

#1 12. 03. 2021 10:39

CR-podmínky, transforamce souřadnic kpx. čísel

#2 12. 03. 2021 11:37

Re: CR-podmínky, transforamce souřadnic kpx. čísel

#3 13. 03. 2021 15:23 — Editoval Richard Tuček (13. 03. 2021 15:24)

Re: CR-podmínky, transforamce souřadnic kpx. čísel

#4 13. 03. 2021 15:31

Re: CR-podmínky, transforamce souřadnic kpx. čísel

#5 13. 03. 2021 15:46

Re: CR-podmínky, transforamce souřadnic kpx. čísel

#6 13. 03. 2021 15:55

Re: CR-podmínky, transforamce souřadnic kpx. čísel

#7 13. 03. 2021 17:02 — Editoval jarrro (13. 03. 2021 17:06)

Re: CR-podmínky, transforamce souřadnic kpx. čísel

#8 13. 03. 2021 18:41 — Editoval Richard Tuček (13. 03. 2021 18:56)

Re: CR-podmínky, transforamce souřadnic kpx. čísel

#9 13. 03. 2021 18:48

Re: CR-podmínky, transforamce souřadnic kpx. čísel

#10 13. 03. 2021 18:54

Re: CR-podmínky, transforamce souřadnic kpx. čísel

#11 14. 03. 2021 18:49

Re: CR-podmínky, transforamce souřadnic kpx. čísel

#12 14. 03. 2021 21:54

Re: CR-podmínky, transforamce souřadnic kpx. čísel

#13 14. 03. 2021 22:12

Re: CR-podmínky, transforamce souřadnic kpx. čísel

#14 15. 03. 2021 16:15

Re: CR-podmínky, transforamce souřadnic kpx. čísel

#15 15. 03. 2021 16:26

Re: CR-podmínky, transforamce souřadnic kpx. čísel

#16 15. 03. 2021 18:36

Re: CR-podmínky, transforamce souřadnic kpx. čísel

#17 15. 03. 2021 18:43

Re: CR-podmínky, transforamce souřadnic kpx. čísel

#18 16. 03. 2021 05:57

Re: CR-podmínky, transforamce souřadnic kpx. čísel

#19 16. 03. 2021 10:09

Re: CR-podmínky, transforamce souřadnic kpx. čísel

#20 17. 03. 2021 05:40

Re: CR-podmínky, transforamce souřadnic kpx. čísel

#21 17. 03. 2021 09:51

Re: CR-podmínky, transforamce souřadnic kpx. čísel

Zápatí