Matematické Fórum

Pokud se válec kutálí po nakloněné rovině, mění se potenciální energie na kinetickou a to posuvného a rotačního pohybu.
Pokud se to má řešit bez použití energií, tak na válec působí síla o velikosti: m*g*sin(alfa)
platí: m*g*sin(alfa)=m*a+J*eps/r=m*a+J*(a/(r^2))=(m+ms)*a
eps=a/r je úhlové zrychlení, ms je setrvačná hmotnost=J/(r^2) (nemusí se rovnat skutečné hmotnosti válce).
Z té rovnice se zrychlení určí snadno.

Pro kontrolu to též vyřešte použitím zákona zachování energie.

Válec roztáčí dvojice sil, posuvná síla a třecí síla. Vlivem tření se válec roztočí.
m*g*sin(alfa)*r = F*r moment dvojice sil
F*r=J*eps=J*a/r, tj. F=J*a/r^2

Jo jo, děkuji ... já jsem si myslel, že to tak nějak musí být, a že moment nemůžeme určit jen z geometrie, ale s těmi silami co nepůsobí ve stejné ose - to mě vždycky trochu zmate (my jsme se tím na škole moc podrobně nezabývali, a pak už jsem se s tím skoro nesetkával).


Ještě jsem to zkoušel pomocí energie, a vyjde to taky (akorát se musí správně derivovat, podle x, a né podle t).

[mathjax]E=\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}J \omega^2[/mathjax]

a "vazební vztah"  [mathjax]v = \omega r[/mathjax], tedy [mathjax]\omega = \frac{v}{r}[/mathjax]

což nám dá

[mathjax]E=\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}J \frac{v^2}{r^2}=(m + \frac{J}{r^2}) \frac{1}{2}v^2[/mathjax]

dále budeme potřebovat:

[mathjax]\frac{d}{dx}(v^2)=\frac{d}{dt}(v^2)\cdot \frac{dt}{dx}=2v\cdot a \frac{1}{v}=2a[/mathjax]

takže

[mathjax]F=\frac{dE}{dx}=(m + \frac{J}{r^2}) \frac{1}{2}\frac{d}{dx}(v^2)=(m + \frac{J}{r^2})a[/mathjax]

Což je to samé jako to tvoje, když si teda vyjádříme tu sílu.

Mě se teda víc líbí, když si ještě rozepíšeme vztah pro moment setrvačnosti jako

[mathjax]J=kmr^2[/mathjax]

Protože pak dostaneme

[mathjax]F=(1+k)ma[/mathjax]