Matematické Fórum

Maca · 13. 10. 2009 19:13

Dobrý večer,
mám následující příklad:
Vypočtěte determinant:
1 0 0 0 d
0 0 0 c 1
0 0 b 1 0
0 a 1 0 0
4 1 1 1 1
Netuším, co s tím. Můžete mi, prosím, alepoň (ale hodně polopatě) nastínit postup?
Děkuji.

Pavel Brožek · 13. 10. 2009 19:36

Takže Laplaceův rozvoj (rozvoj podle nějakého řádku nebo sloupce) ti nic neříká?

Maca · 13. 10. 2009 20:19

Jdu to nastudovat, děkuji za tip. Pak se ozvu.

lukaszh · 13. 10. 2009 20:43

↑ Maca:
Vezmem si ťa ako vzorku. Takých otázok ako si položila ty, sa tu vyskytuje mnoho. Moja otázky budú nasledovné:

(1) Študuješ, ale nechce sa ti učiť?
(2) Alebo toto vám zadajú a nepovedia ako sa to rieši?
(3) Alebo nemáte prednášky....
(4) Alebo si nadšenec pre matematiku a len tak po mimo sa učíš na tomto fóre
(5) Alebo niečo iné?

Dosť ma zaráža, že "jdu to nastudovat." Ten pojem by mal byť ako tak pre teba známy. Nie úplne cudzí. Bol by som rád, keby padla odpoveď. Vďaka.

Maca · 13. 10. 2009 21:17

Už jsem to vysvětlovala jinde. Jsem 20 let po maturitě na odborné škole (okleštěná matika). Teď jsem se dostala na kombin. studium na VŠ. Přednášky nemáme, jen zadané příklady ke zpracování - ber, kde ber. Matiku máme jen v prvním semestru. Učit se učím (při práci a rodině). Možná vás iritují moje dotazy, ale kdybyste mě viděli před 3/4 rokem, když jsem se začala učit na přijímačky, určitě byste uznali, že jsem udělala velký pokrok (prakticky od nuly) a že se fakt snažím. Tak co, hodíte mě přes palubu?

lukaszh · 13. 10. 2009 21:43

↑ Maca:
Vďaka za odpoveď. Otázky samozrejme neiritujú, len som chcel vedieť, kde to viazne.

Maca · 14. 10. 2009 23:21

Našla jsem jen pár zmínek o Laplaceově metodě a nejsem z toho vůbec moudá. Navíc žádný z názorných příkladů neobsahuje písmena.
Vidím, že první 4 řádky matice mají určitý systém, ten pátý mi do toho nějak nezapadá, i když asi bude nejdůležitější, protože je čistý - bez písmen.
Mohli byste mi poradit, kam se když tak ještě podívat (internet), abych to pochopila?
Děkuji.

Tychi · 14. 10. 2009 23:26 — Editoval Tychi (14. 10. 2009 23:33)

S písmeny počítej jako s čísly, jen místo zápisu 1+2=3 použiješ zápis a+d=a+d.

U tvého příkladu bych jako první odečetla od pátého řádku čtyřnásobek prvního řádku.
Pak bych asi odečtla 1/a násobek čtvrtého řádku zase od pátého řádku...
Cílem by pro mě bylo "trojúhelníková matice" s přeházenými řádky, jejíž determinant jde snadno určit.

Maca · 14. 10. 2009 23:41

Omlouvám se, ale nerozumím tomu, že místo zápisu 1+2=3 použiji zápis a+d=a+d

Pavel Brožek

↑ Tychi:

Na tohle bych si dával velký pozor, pokud chceme použít při výpočtu číslo 1/a, musí být a různé od nuly. Případ a=0 bychom museli vyřešit zvlášť. Proto je často lepší se takovým úpravám vyhnout a najít jiné.

↑ Maca:

V čem je třeba číslo 4 při počítání jiné od písmene c? Pouze v tom, že když se vyskytne třeba v součtu s jiným číslem (např. 5+4), tak můžeme výraz vyčíslit a počítat s jiným číslem (zde 9). Když máme písmena (např. a+c), tak prostě vyčíslit nic nedokážeme a postupujeme dál s tímto dvojčlenem. Písmena pouze zastupují určitá čísla, která dopředu neznáme.

Zkusím popsat ten Laplaceův rozvoj. Počítám determinant tvé matice.
- Vyberu si řádek (nebo sloupec, postup by vypadal analogicky. Dále ale uvažuji, že pracujeme s řádkem), podle kterého budu rozvíjet. (volím 1. řádek tvé matice)
- Postupně procházím položky toho jednoho řádku. Každé položce bude odpovídat jeden člen v součtu. Ten člen bude tvořen součinem
> hodnoty na té pozici v řádku (pro tvou matici, první řádek a pátou - poslední položku to bude d)
> (-1)^(i+j), kde i je pořadí řádku a j je pořadí sloupce aktuální položky (tady bude i=1, j=5, tedy $(-1)^{(1+5)}=1$ )
> determinantu matice vzniklé z původní matice vyškrtnutím i-tého řádku a j-tého sloupce. (tady to bude podmatice 4x4 z dolního levého rohu)

Celkově tedy rozvoj podle prvního řádku vypadá takto:

Teď už stačí (třeba zase pomocí Laplaceova rozvoje) spočítat tyto dva jednodušší determinanty.

Maca · 15. 10. 2009 22:00

Zatím snad rozumím všemu kromě té -1

Takže dál je to takto?
0 0 c 1 b 1 0 0 1 0 0 b 0 0 b 1
0 b 1 0 = 0*(-1)^1+1 * 1 0 0 + 0*(-1)^1+2 * a 0 0 + c*(-1)^1+3 a 1 0 + 1*(-1)^1+4 a 1 0 =
a 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1

0 b 0 0 b 1
= c* a 1 0 - a 1 0
1 1 1 1 1 1

Je to správně?
A jak počítat ten druhý? Můžu to nejdřív normálně vynásobit?

0 0 0 c 0 0 0 cd
d* 0 0 b 1 = 0 0 bd d
0 a 1 0 0 ad d 0
4 1 1 1 4d d d d a počítat jako viz výše, nebo je to špatně?
Děkuji.

Tychi · 15. 10. 2009 22:03 — Editoval Tychi (15. 10. 2009 22:07)

↑ Maca: Je to správně. Ještě dopočítej ty malé determinanty je to. A násobení déčkem si nech až na konec, zbytečně by se tam pletlo.

A ta (-1) je vždy umocněna na součet pořadového čísla řádku a pořadového čísla sloupce...aha, už to vidím, zapomnělas na závorky. (-1)^1+4 není to samé jako (-1)^(1+4), což bys tam měla mít.

Maca · 15. 10. 2009 22:51

Omlouvám se za ty závorky. Chápu čím je ta (-1) umocněna, ale nerozumím tomu číslu (-1). To je v překladu: uberu 1 řádek (sloupec)?

Takže:

0 0 0 c 0 b 1 0 b 1 0 0 1
d* 0 0 b 1 = d* závorka 0*(-1) (1+1) * a 1 0 + 0*(-1) (1+2) * 0 1 0 + 0*(-1) (1+3) * 0 a 0 +
0 a 1 0 1 1 1 4 1 1 4 1 1
4 1 1 1

0 0 b 0 0 b
+ c*(-1) (1+4) * 0 a 1 závorka = d* (-c* 0 a 1 )
4 1 1 4 1 1

Je to tak správně (když si odmyslíte ty šílené závorky)?

Takže teď bych měla:

0 b 0 0 b 1 0 0 b
( c* a 1 0 - a 1 0 ) + d* (-c* 0 a 1 )
1 1 1 1 1 1 4 1 1

POkud je to v pořádku, mohu dál počítat ty nové malé determinanty? Děkuji.

Pavel Brožek

Je to správně. Dál můžeš postupovat zase rozvojem. I když to tady není nutné, zkus si to rozvinout podle něčeho jiného než prvního řádku (ale svou volbu proveď tak, abys v tom řádku/sloupci měla co nejvíce nul)

-1 není v překladu nic, to je prostě číslo ze vzorečku, který platí :-). Nevím, jestli by se jeho přítomnost dala nějak "vysvětlit".

Maca · 15. 10. 2009 23:29

Zkusím, jestli to nezmotám. Teď beru 3. sloupeček.

0 b 0
c* a 1 0 = c* ( 0*(-1)^(1+3) * a 1 + 0*(-1)^(2+3) * 0 b + 1*(-1)^(3+3) * 0 b ) = c* 0 b
1 1 1 1 1 1 1 a 1 a 1

Je to tak?

Pavel Brožek

Přesně tak. Ono je takhle jasné, že má smysl vypisovat pouze členy, kde prvek řádku/soupce je nenulový.

Maca · 16. 10. 2009 00:29

Tak, mohu-li, jedu dál:

0 b 1
-1* a 1 0 = 1*(-1) (1+3) * a 1 + 0*(-1) (2+3) * 0 b + 1*(-1) (3+3) * 0 b = -1* ( a 1 + 0 b )
1 1 1 1 1 1 1 a 1 1 1 1 1

pak

0 0 b
d* (-c* 0 a 1 ) = d* (((-c* ((0*(-1) (1+1) * a 1 + 0*(-1) (2+1)* 0 b + 4*(-1) (3+1)* 0 b )) ))) =
4 1 1 1 1 1 1 a 1

= d* (-4c* 0 b )
a 1

Nezamotala jsem se nějak do těch závorek?
Ty malé 4-prvkové determinanty mohu pak počítat stejným způsobem? Děkuji.

Pavel Brožek · 16. 10. 2009 00:39

↑ Maca:

Na prvním řádku máš chybu v poslední rovnosti. Nemá tam být -1 (u nenulových členů je v sudé mocnině) a druhou matici jsi špatně opsala.

Úprava druhé matice je myslím v pořádku. Můžeš dál postupovat stejně, ale tady už je to jednoduché - determinant matice 2x2 je prostě součin prvků na hlavní diagonále mínus součin prvků na vedlejší diagonále.

Maca · 16. 10. 2009 08:30

Omlouvám se, tu druhou matici jsem fakt špatně opsala. Ale to -1 by tam, myslím, být mělo. Původně totiž celá ta matice byla mínusová (viz můj příspěvek ve 22:00 h.). Ale zase jsem to tudíž zapomněla zapsat za to první =....

Tak raději oprava pro přehlednost:
0 b 1
-1* a 1 0 = -1* ((1*(-1)^(1+3) * a 1 + 0*(-1)^(2+3) * 0 b + 1*(-1)^(3+3) * 0 b ))= -1* ( a 1 + 0 b )
1 1 1 1 1 1 1 a 1 1 1 a 1

Pokud je to teď správně, celkově by to mělo vypadat takto:

((c* 0 b ) - (a 1 + 0 b)) + d* (-4c* 0 b)
a 1 1 1 a 1 a 1

pak

c* (0-ab) - ((a-1) + 0-ab)) + d* ((-4c* (0-ab)) = -abc - (a-1-ab) + d* 4abc

Je to správně? Děkuji.

Pavel Brožek · 16. 10. 2009 12:21

Ta -1 tam má být, nevšiml jsem si, žes ji zapomněla opsat.

Pro přehlednost se zbavíme závorky a máme

=4abcd-abc+ab-a+1

To je správný výsledek.

Maca · 16. 10. 2009 15:56

moc děkuji :)

Matematické Fórum

#1 13. 10. 2009 19:13

Výpočet determinantu

#2 13. 10. 2009 19:36

Re: Výpočet determinantu

#3 13. 10. 2009 20:19

Re: Výpočet determinantu

#4 13. 10. 2009 20:43

Re: Výpočet determinantu

#5 13. 10. 2009 21:17

Re: Výpočet determinantu

#6 13. 10. 2009 21:43

Re: Výpočet determinantu

#7 14. 10. 2009 23:21

Re: Výpočet determinantu

#8 14. 10. 2009 23:26 — Editoval Tychi (14. 10. 2009 23:33)

Re: Výpočet determinantu

#9 14. 10. 2009 23:41

Re: Výpočet determinantu

#10 15. 10. 2009 01:40 — Editoval BrozekP (15. 10. 2009 01:42)

Re: Výpočet determinantu

#11 15. 10. 2009 22:00

Re: Výpočet determinantu

#12 15. 10. 2009 22:03 — Editoval Tychi (15. 10. 2009 22:07)

Re: Výpočet determinantu

#13 15. 10. 2009 22:51

Re: Výpočet determinantu

#14 15. 10. 2009 23:09 — Editoval BrozekP (15. 10. 2009 23:10)

Re: Výpočet determinantu

#15 15. 10. 2009 23:29

Re: Výpočet determinantu

#16 15. 10. 2009 23:34 — Editoval BrozekP (15. 10. 2009 23:35)

Re: Výpočet determinantu

#17 16. 10. 2009 00:29

Re: Výpočet determinantu

#18 16. 10. 2009 00:39

Re: Výpočet determinantu

#19 16. 10. 2009 08:30

Re: Výpočet determinantu

#20 16. 10. 2009 12:21

Re: Výpočet determinantu

#21 16. 10. 2009 15:56

Re: Výpočet determinantu

Zápatí