Matematické Fórum

Nicméně na nalezení tečny v bodě tohle není vůbec potřeba. Pokud máš rovnici nějaké kuželosečky a hledáš tečnu v nějakém jejím bodě - v našem případě tečnu v bodě [2,4] rovnoosé hyperboly (x-3)(y+2)=-6, tak ...

Využije se toho, že obecná přímka jakoukoliv kuželosečku buď protíná ve dvou bodech, nebo v žádném, nebo se jí dotýká. Takže když vyřešíš soustavu - rovnice kuželosečky a rovnice přímky, a má jedno (dvojnásobné) řešení, tak to musí být tečna. A derivování není potřeba...

Když si napíšeme rovnici přímky procházející naším bodem, bude to (y-4)=k(x-2). Vyjádříme x nebo y a dosadíme do rovnice naší hyperboly. Tedy:

y=k(x-2)+4

(x-3)(k(x-2)+4+2)=-6
(x-3)(kx-2k+6)=-6

roznásobíme a dostaneme kvadratickou rovnici ... jejíž koeficienty závisí na k. A potom hledáme takové k, aby rovnice měla jen jedno řešení - tedy aby diskriminant vyšel nulový. To je všechno.