Matematické Fórum

Maca · 14. 10. 2009 22:25

Dobrý večer,
mám následující zadání příkladu: Vypočtěte inverzní matici k matici A = 1 -2 1
0 1 -2
0 0 1
Můžete mi, prosím, zkontrolovat, jesli mám správný postup?
det A = [1*1*1 + (-2)*(-2)*0 + 0*0*1] - [1*1*0 + (-2)*0*1 + (-2)*0*1] = [1+0+0] - [0+0+0] = 1-0 = 1

A* = 1 0 0 T
2 1 0
3 2 1

A ^-1 = 1/det (A) * A* = 1/1 * 1 0 0 T = 1 0 0
2 1 0 2 1 0
3 2 1 3 2 1

Děkuji za kontrolu, ev. opravy.

Johny · 14. 10. 2009 22:33

↑ Maca:

Vysledek determinantu mas dobre ,ale nevím co je A s hvězdičkou . To uděla nekdo jiny :)

Pavel Brožek · 14. 10. 2009 22:44

↑ Johny:

A s hvězdičkou je zde adjungovaná matice (nesetkal jsem se s tímto značením, hvězdičkou se obvykle značí komplexně sdružená matice, ale nevylučuji, že se to používá i takhle).

↑ Maca:

A co to na konci ještě transponovat :-)

Jinak správnost výpočtu inverzní matice se snadno ověřuje - vynásobíme s maticí původní.

Tychi · 14. 10. 2009 22:46 — Editoval Tychi (14. 10. 2009 22:58)

Zkusila jsem tvoji inverzní matici vynásobit s původní maticí a jednotková matice mi nevyšla.
Edit: Jak napsal ↑ BrozekP:, transpozice pomůže.

Já používám pro výpočet inverzní matice jiný postup, jednodušší (ve smyslu: lépe se pamatuje)
1 -2 1 | 1 0 0 1 -2 1 | 1 0 0 1 0 0 | 1 2 3
0 1 -2 | 0 1 0 .. 0 1 0 | 0 1 2 .. 0 1 0 | 0 1 2
0 0 1 | 0 0 1 0 0 1 | 0 0 1 0 0 1 | 0 0 1

Na levé straně matice A, na pravé straně jednotková matice. Pomocí gaussovy eliminace "přestěhujeme" na levou stranu jednotkovou matici a na pravé straně vyjde inverzní matice.

Maca · 14. 10. 2009 23:02

Děkuji za reakce.
Počitala jsem částečně podle vzorového příkladu na Matematika online UM FSI VUT v Brně a měl by to být výpočet pomocí algabraicky adjungované matice.

Transponovat na A* 1 2 3
0 1 2
0 0 1 a z roho teprve počítat determinant?

Oxyd · 14. 10. 2009 23:02

Tychi napsal(a):
Já používám pro výpočet inverzní matice jiný postup, jednodušší (ve smyslu: lépe se pamatuje)

Tenhle postup by měl být jednodušší i ve smyslu, že zabere míň času. Pro matici 3x3 je to jedno, ale když budeš mít třeba hustou matici 100x100 (hustou rozuměj, že rozvoj dle řádku či sloupce ti moc nepomůže), tak determinant z definice asi počítat nebudeš, tak na něj stejně vytáhneš pana Gausse -- a to rovnou můžeš spočíst inverzní matici takhle.

Oxyd · 14. 10. 2009 23:08

Maca napsal(a):
Děkuji za reakce.
Počitala jsem částečně podle vzorového příkladu na Matematika online UM FSI VUT v Brně a měl by to být výpočet pomocí algabraicky adjungované matice.

Transponovat na A* 1 2 3
0 1 2
0 0 1 a z roho teprve počítat determinant?

Z té adjungované přece determinant nepočítáš -- tu adjungovanou násobíš převrácenou hodnotou determinantu té původní matice.

Maca · 14. 10. 2009 23:08

Mohu poprosit ještě trochu popostrčit... jsem totiž nejspíš úplně mimo, vycházejí mi samé nuly.

Tychi · 14. 10. 2009 23:09 — Editoval Tychi (14. 10. 2009 23:09)

↑ Maca: Tvůj výsledek transponovat. A dostaneš správný výsledek.
A ^-1 = 1/det (A) * A* = 1/1 * 1 0 0 T = 1 0 0 T = ...
2 1 0 2 1 0
3 2 1 3 2 1
↑ Oxyd: Pravdu máš.

Maca · 14. 10. 2009 23:36

To jsem z toho jelen(ice)... takže jsem se (porovnávajíc výsledek s Tychi) dostala ke zdárnému konci 1 2 3
0 1 2
0 0 1 ?

Oxyd · 15. 10. 2009 00:03

↑ Maca:

Výsledek správně máš.

Jestli si stále připadáš zmateně, tak 1) dej si horkou koupel (xD), 2) urovnej si myšlenky a napiš nám sem tvůj postup ve finální verzi, abychom viděli, jestli někde nepoužíváš něco špatně či neargumentuješ něčím nepřesným (ač ti výsledek vychází dobře). Ta vana ti rozproudí krev a okysličí hlavu; napsání myšlenek na papír (resp. fórum) ti pomůže ujasnit si, co se kde děje, případně najít přesně to místo, které stále nechápeš.

LukasM · 15. 10. 2009 09:49 — Editoval LukasM (15. 10. 2009 09:49)

↑ Maca:
Já bych k prvnímu příspěvku možná jen doplnil, že počítat zrovna u této matice determinant z definice (resp. Sarrusova pravidla) je zbytečné. Rozvoj podle prvního sloupce (nebo posledního řádku) nám dá odpověď okamžitě, aniž by bylo potřeba cokoli psát. Jinak souhlasím s Tychi a ostatními, že hledání inverzní matice pomocí Gaussovy metody je efektivnější.
To ale jen tak na okraj.

Maca · 15. 10. 2009 21:10

Teď jsem přišla z denní (12-ctky), tak jsem ještě nestihla zkusit tu Gaussovu metodu. Ale mé původní postupy byly tyto:

A = 1 -2 1
0 1 -1
0 0 0

Z toho jsem podle jednoho vzorového příkladu na webu (teď to nemohu najít) vytvořila toto:

A* = 1 0 0 T např. a12 vzniklo z pův. matice: (a21 * a33) - (a23 * a31)= (0*0)-(-1*0)=0-0=0 atd
2 1 0 Nepsali tam, jak se ta početní operace nazývá.....
3 2 1

a matici jsem transformovala A* = 1 2 3
0 1 2
0 0 1

Tychi · 15. 10. 2009 21:56

Postup je správný, jen prostě existuje i lepší. Ve svém prvním příspěvku jsi zapomněla na tu transpozici, proto to nevyšlo. Teď už je vše OK.

Maca · 15. 10. 2009 22:01

Děkuji, ještě zkusím tu Gaussovu metodu. :)

Matematické Fórum

#1 14. 10. 2009 22:25

Výpočet inverzní matice

#2 14. 10. 2009 22:33

Re: Výpočet inverzní matice

#3 14. 10. 2009 22:44

Re: Výpočet inverzní matice

#4 14. 10. 2009 22:46 — Editoval Tychi (14. 10. 2009 22:58)

Re: Výpočet inverzní matice

#5 14. 10. 2009 23:02

Re: Výpočet inverzní matice

#6 14. 10. 2009 23:02

Re: Výpočet inverzní matice

Tychi napsal(a):

#7 14. 10. 2009 23:08

Re: Výpočet inverzní matice

Maca napsal(a):

#8 14. 10. 2009 23:08

Re: Výpočet inverzní matice

#9 14. 10. 2009 23:09 — Editoval Tychi (14. 10. 2009 23:09)

Re: Výpočet inverzní matice

#10 14. 10. 2009 23:36

Re: Výpočet inverzní matice

#11 15. 10. 2009 00:03

Re: Výpočet inverzní matice

#12 15. 10. 2009 09:49 — Editoval LukasM (15. 10. 2009 09:49)

Re: Výpočet inverzní matice

#13 15. 10. 2009 21:10

Re: Výpočet inverzní matice

#14 15. 10. 2009 21:56

Re: Výpočet inverzní matice

#15 15. 10. 2009 22:01

Re: Výpočet inverzní matice

Zápatí