Matematické Fórum

Zdravím, to záleží na tom, voči čomu túto potenciálnu energiu určuješ, teda kde máš referenčnú nulovú hladinu potenciálnej energie.

Potenciální energie může vycházet záporná. To už je taková vlastnost potenciálů - že fyzikální důsledky má jen rozdíl potenciálů (rozdíl potenciálních energií). Jejich absolutní hodnota se fyzikálně nijak neprojevuje, a nelze ji ani nijak měřit. Takže nulovou hodnotu potenciální energie si můžeme zvolit kdekoliv. Jinak řečeno ... když k potenciální energii systému přičteme stejnou konstantu, nic měřitelného se tím nezmění.

Týká se to ovšem jen té potenciální energie, kinetická rozhodně záporná být nemůže....alespoň v klasické fyzice né.

↑ MichalAld:
Já Vám tedy věřím, ovšem na internetu jsem našel toto video https://www.youtube.com/watch?v=qbpdNxb1Gog, které říká, že [mathjax]g[/mathjax] je vždy kladné. No a když si řeknu, že dolů je záporný směr, tak pak přeci tíhová síla bude [mathjax]F_{G}=-mg[/mathjax]. Jsem z toho zmatený.

↑ Prvočíslo:
[mathjax]g[/mathjax] ako veľkosť vektora gravitačného zrýchlenia [mathjax]\vec{g}[/mathjax], teda [mathjax]|\vec{g}|[/mathjax] je ako absolútna hodnota - je nezáporná. To znamená, že nikdy nemôže nadobúdať zápornú hodnotu.

Hoci veľkosť vektora a skalár na prvý pohľad vyzerajú rovnako, nejedná sa o to isté.

Já mám dlouhodobě špatnou zkušenost s videi. Pokud to není zrovna záznam přednášky VŠ profesora, je šance, že tam budou ňáký bláboly hodně vysoká. A navíc i když je to správně, tak člověk v jeden čas vnímá odděleně jednu věc. Čtení je lepší, tam si člověk snadno "dá dvě a dvě dohromady".

Aby to bylo jednodušší, bude to malej talířek, kterej má tíhovou sílu 1 N a stůl bude 1 m vysokej a 1 m nad ním bude polička.

Pokud za výchozí pozici zvolím stůl, přemístěním talířku na poličku dodám talířku 1 J, tedy zvýším jeho potenciální energii. Pokud ho naopak přendám na podlahu, potenciální energii o 1 J snížím.

Prostě máme E = F.s a s hodnotama si můžeme dost libovolně hrát:
Pokud je E=0 na stole, F směřuje dolů, dostaneme  E=+1 na poličce a E=-1 na podlaze jedině tak, že znamínko změníme u s.

Jenže co když se budeme ve stejné soustavě koukat na Australana, kterej udělá totéž?
- Ty zvedneš talířek o +1 m a tím mu zvýšíš potenciální energii o 1 J: E = E0 + 1 m * 1 N
- On zvedne talířek o -1 m a tím mu zvýší potenciální energii o 1 J: E = E0 - 1 m * (-1 N)

Oba zvednete talířky, oba jim zvýšíte potenciální energii, protože se vám oběma zvýší šance, že se po upuštění rozbijou. Směr pohybu je opačný, opačný musí být i směr síly.

Závěr: Pravidlo "g směřuje dolů" platí za předpokladu zanedbatelné úhlové velikosti soustavy vůči gravitačnímu středu. Což je u pozemských dějů celkem obvyklá situace, ale nemusí to stačit třeba ve vesmíru.

Obecně existuje mnoho jednoduchých pravidel, která ale "platí za předpokladu že..."

Nemám moc čas okukovat nějaká videa o tom, jestli je g kladné nebo né...a navíc už to píšu asi po desáté, tak už mě to trochu přestává bavit, ale abys měl představu, jak je to doopravdy ... tak velikost g je těch 10 (a velikost je vždycky kladná), ale skutečný vektor g vypadá zhruba takto:

[mathjax]\vec{g} = \kappa M \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3}[/mathjax]

r - je polohový vektor, tedy x, y, z souřadnice nějakého bodu (nemusí být nutně na povrchu země, může být i dále). Pokud bychom si to rozepsali do složek, tak

[mathjax]\vec{g} = [g_x, g_y, g_z][/mathjax]

kde

[mathjax]g_x = \kappa M \frac{x}{(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2})^3}[/mathjax]

[mathjax]g_y = \kappa M \frac{y}{(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2})^3}[/mathjax]

[mathjax]g_z = \kappa M \frac{z}{(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2})^3}[/mathjax]

Což jak vidíš, jsou docela složité vztahy. Ale pokud nás nezajímají všechny body v prostoru, ale jen ten, kde se zrovna nacházíme (případně co je nad námi), tak si můžeme natočit souřadný systém tak, aby osou x mířil do bodu, kde jsme my - a tím pádem budou y, z složky nulové ... a vztah se hezky zjednoduší na

[mathjax]\vec{g} = [g_x, 0, 0][/mathjax]

[mathjax]g_x = \kappa M \frac{x}{(\sqrt{x^2 + 0 + 0})^3} = \kappa M \frac{x}{|x|^3} = \kappa M \frac{1}{x^2} \cdot(\frac{x}{|x|})[/mathjax]

Ten poslední člen je odpověď na tvoji otázku ... x/|x| je buď jedna, pro x >0, nebo minus jedna, pro x < 0.

Akorát že tímhle vás na škole nezatěžují, takže vám řeknou jen že

[mathjax]g = \kappa M \frac{1}{x^2}[/mathjax]

což je samozřejmě vždycky kladné, ale nicméně to není úplně správný vztah. Správný by byl, kdyby se napsalo

[mathjax]|\vec{g}| = \kappa M \frac{1}{x^2}[/mathjax]

↑ MichalAld: Já si tedy ještě uvedomil, že práce, kterou vykonávám ve směru pohybu je vždy kladná, ta, kterou vykonávají síly proti směru pohybu, je záporná.
No ale co kdybych si řekl, že budu působit na nějaké těleso zápornou silou, i když jí budu těleso urychlovat (bude působit ve směru pohybu)? Vektor třecí síly by pak působil proti pohybu a měl by kladnou hodnotu. Můžu si to říct? Protože pak práce, kterou vykonám, vyjde jako záporná. Já mám asi zmatek v tomto, proto jsem zmaten z tamtěch energií a prací.

↑ Ferdish:
A ten základ se snažím získat. Mě jde o to, zda si můžu říct, že působím na těleso zápornou silou, přičemž ta síla působí ve směru pohybu tělesa. Pak by práce byla záporná, ne? Nebo je prostě jasně řečeno, že pokud síla působí ve směru pohybu tělesa, tak je vždy kladná? Potom bych to tedy chápal.

Možná by bylo dobré začít používat pojem opačný, opačná a pak by se vyřešil problém s určováním nějakých kladných a záporných

S dráhou je to trošku jinak. Dráha není vektor, dráha je integrál směrového vektoru trajektorie.

Jenže ty zatím integrály neznáš ... tak bude asi trochu problém to vysvětlit. Prostě ...

Práce NENÍ  [mathjax]W = F \cdot S[/mathjax]. To by platilo jen pokud by byla síla podél dráhy stále stejná. Obecně ale platí, že přírustek práce (malá změna) je [mathjax]\Delta W = \vec{F} \cdot \overrightarrow{\Delta S}[/mathjax]

To [mathjax]\overrightarrow{\Delta S} = \vec{r_2}-\vec{r_1}[/mathjax] je prostě rozdíl dvou poloh dvou blízkých bodů na té trajektorii. A protože poloha bodu je vektor, je i jejich rozdíl vektor.

Aby tohle fungovalo, musí být samozřejmě to [mathjax]\overrightarrow{\Delta S}[/mathjax] velmi malé (ideálně nekonečně malé - to by pak vedlo na ten integrál). Ale můžeme uvažovat, že bude prostě dostatečně malé. Ale je to vektor, má to směr.

A takže přírustek práce je skalární součin vektoru síly, a vektoru malého úseku dráhy. Skalární součin je

[mathjax]\vec{F} \cdot \overrightarrow{\Delta S}= F \cdot \Delta S \cdot \cos \alpha[/mathjax]

Takže pokud svírají úhel nula, je to normální součin velikostí těch vektorů, pokud svírají úhel 180° tak se to vynásobí (-1).

Ten směr elementu dráhy [mathjax]\overrightarrow{\Delta S}[/mathjax] nám samozřejmě určuje, jakým směrem se pohybujeme. Takže se můžeme pohybovat buď ve směru síly, nebo proti směru síly ... a podle toho vyjde to znaménko.

Celková práce je pak součet všech těch dílčích elementů [mathjax]\Delta W[/mathjax] podél celé dráhy (to je zhruba to, co nazýváme integrálem).

Pokud jde o samotnou dráhu S, tak by to byl součet všech velikostí [mathjax] |\overrightarrow{\Delta S}|[/mathjax], a protože velikosti jsou vždycky kladné, tak bude dráha vždycky kladná.

Nicméně to není jediný možný přístup, a lze uvažovat i dráhu, která má znaménko, podle toho, jestli začneme na jednom konci, nebo na druhém. To už je věc přístupu ... protože i v matematice můžeme uvažovat křivku (čáru) nebo orientovanou křivku (čáru) ... kde u té orientované dokážeme rozlišit směr. A často se to tak dělá - protože když se křivka vine někde ve vektorovém poli (třeba v gravitačním poli) tak potom je rozdíl kterým směrem se pohybujeme (jestli jdeme po schodech  nahoru nebo dolů).

Na tohle téma existuje i hezký vtip...:
V Polsku v dobách tuhého socialismu si jeden docent matematiky spočítal, že dělník v loděnici vydělá 3x více než on. A tak si v občance proškrtal tituly před a za jménem a šel pracovat do loděnice. V loděnici se mu dařilo, moc se s prací nepřetrhl a dostával 3x víc než na škole. Pak loděnice založila večerní školu pro dělníky, a že kdo tam bude chodit, dostane přidáno. Docent se zapsal a začal chodit. Hned první hodinu, bác ho, matematika. Obtížnost jako v prvním ročníku na střední, takže docent jen tak pospává a nedává pozor. Všimne si ho učitel, vyvolá k tabuli a dá mu spočítat obsah kruhu. Docent začne psát, ale zaboha si nemůže vzpomenout na vzorec pro obsah kruhu, takže se to rozhodne odvodit. Napíše si převod do polárních souřadnic, pak to integruje a vyjde mu mínus pí er na2, tak tam stojí a přemýšlí, kde se tam vzalo to mínus. A z poslední řady někdo zašeptá: "Otoč interval integrace..."

A když jsem tedy působil zápornou prací ve směru pohybu tělesa, tak se ale přeci také muselo posouvat v záporném směru, ne?

Dodáváš-li zápornou práci, znamená to, že brzdíš pohyb tělesa. Například vezeš vozík z kopce a bráníš jeho zrychlování.