Matematické Fórum

↑ joijuhu:Vyuzi, ze navzajom kolme priamky maju navzajom kolme normalove vektory (aj smerove, samozrejme).

↑ joijuhu:

Tečna k f v bodě [mathjax]x_0[/mathjax] je přímka, bude tedy mít rovnici ve tvaru [mathjax]y = ax + b[/mathjax], kde [mathjax]a[/mathjax] je rovno derivaci f v daném bodě. Platí tedy [mathjax]t: y = f'(x_0)x + b[/mathjax], kde [mathjax]b \in \mathbb{R}[/mathjax].

Přímka t musí v bodě [mathjax]x_0[/mathjax] procházet funkcí f, tedy platí: [mathjax]t(x_0) = f(x_0)[/mathjax], tj. [mathjax](4x_0 - 5)x_0 + b = 2x_0^2 - 5x_0 + 2[/mathjax].

Po úpravě dostáváme [mathjax]2x_0^2 + b = 2[/mathjax], takže [mathjax]b = 2 - 2x_0^2[/mathjax]. Rovnice tečny t tedy bude [mathjax]y = (4x_0 - 5)x + 2 - 2x_0^2[/mathjax].

Přímka [mathjax]p: 2x-2y-9=0[/mathjax] má normálový vektor (2; -2). Přímka [mathjax]k[/mathjax] na ni kolmá bude tedy mít směr tohoto normálového vektoru, tzn. její normálový vektor bude kolmý na normálový vektor přímky [mathjax]p[/mathjax]. Normálový vektor přímky [mathjax]k[/mathjax] je tedy například (2; 2).

Přímka [mathjax]k[/mathjax] tedy bude mít rovnici ve tvaru [mathjax]k: 2x + 2y + c = 0[/mathjax], kde [mathjax]c \in \mathbb{R}[/mathjax].

Tato přímka je totožná s hledanou tečnou k f, tzn. v bodě [mathjax]x_0[/mathjax] prochází funkcí f:
[mathjax]k(x_0) = f(x_0)[/mathjax]
[mathjax]-x_0 - \frac c2 = 2x_0^2 - 5x_0 + 2[/mathjax]
[mathjax]c = -4x_0^2 + 8x_0 - 4[/mathjax]

Přímka k má tedy rovnici [mathjax]y = -x + 2x_0^2 - 4x_0 + 2[/mathjax].

Jelikož přímka k je totožná s tečnou t, musí platit:
[mathjax]k(x) = t(x)[/mathjax]
[mathjax]-x + 2x_0^2 - 4x_0 + 2 = (4x_0 - 5)x + 2 - 2x_0^2[/mathjax]
[mathjax]-x + (2x_0^2 - 4x_0 + 2) = (4x_0 - 5)x + (2 - 2x_0^2)[/mathjax]

Takže [mathjax]-1 = 4x_0 - 5[/mathjax] a [mathjax]2x_0^2 - 4x_0 + 2 = 2 - 2x_0^2[/mathjax], tzn. [mathjax]x_0 = 1[/mathjax]. Hledaná tečna je tedy v bodě 1.

Dostáváme tedy rovnici: [mathjax]t(x) = (4x_0 - 5)x + 2 - 2x_0^2 = -x[/mathjax].

↑ joijuhu:
Hledaná tečna kolmá k přímce p bude mít normálový vektor (2,2)=(1,1)
Rovnice tedy bude:
[mathjax]x+y+c=0[/mathjax]
[mathjax]y=-x-c[/mathjax]
řešíme:

Aby tato rovnice měla 1 dvojnásobný kořen pak diskriminant D=0 tedy:
[mathjax](-4)^2-8(c+2)=0[/mathjax]
[mathjax]16-8c-16=0[/mathjax]
[mathjax]c=0[/mathjax]
Rovnice tečny:

↑ joijuhu:
Co jsou x-ové a y-ové body?
Jinak směrnice přímky
[mathjax]x+y=0[/mathjax] 
[mathjax]k=-1[/mathjax]

↑ Cheop: souřadnice bodu dotyku

↑ joijuhu:
máme-li rovnici přímky ve tvatu:
[mathjax]y=kx+q[/mathjax] tak to k je směrnice přímky.
v našem příkladě
je směrnice
x-ovou resp.y-ovou souřadnici bodu dotyku zjistíš řešením rovnice:
(x-ovou)
(y-ovou)