Matematické Fórum

kjokjen · 06. 05. 2021 20:13

Dobrý den, již delší dobu si nemohu poradit se zadáním z Petákové 166/108, tedy:

Vypočítejte obsah rovinného obrazce, který omezují dvě křivky dané rovnicemi:

y^2 = 4x - 4
y^2 = 8x - 16

Musím nějakým způsobem použít určitý integrál. Napadlo mě rotovat obrazec o půl pí, ale nemám tušení jak. Odmocňovat to taky nemá smysl...

Děkuji za jakoukoliv kloudnou výpomoc.

Ferdish

Zdravím,

obe krivky sú ležaté paraboly s vrcholmi ležiacimi na osi [mathjax]x[/mathjax] (a teda osovo súmerné podľa osi [mathjax]x[/mathjax]) a ich ramená rastú v kladnom smere osi [mathjax]x[/mathjax] (náčrt pomôže).

Odmocňovanie má zmysel, len si treba uvedomiť, že pri odmocnení získaš u oboch kriviek predpis len pre tie časti, ktoré sa nachádzajú nad osou [mathjax]x[/mathjax]. Dá sa však využiť už spomínaná osová súmernosť a vypočítať obsah hľadaného rovinného obrazca ako dvojnásobok obsahu obrazca ohraničeného osou [mathjax]x[/mathjax] a funkčnými krivkami v "klasickom" tvare [mathjax]y=f(x)[/mathjax] získané odmocnením pôvodných rovníc zadaných kriviek.

surovec

↑ kjokjen:
Případně můžeš při integraci prohodit proměnné a integrovat to podle [mathjax]y[/mathjax].
[mathjax]2\int_0^{2\sqrt{2}} \frac{y^2+16}{8}-\frac{y^2+4}{4}\,\mathrm{d}y[/mathjax]

Richard Tuček · 10. 05. 2021 14:09

Nejdřív bych zkusil najít průsečíky daných křivek. Jsou 2. Je dobré si to načrtnout, ať víme, který obsah počítáme.
Spočítal bych obsah nad osou x a pak vzhledem k symetrii stačí znásobit 2.

Matematické Fórum

#1 06. 05. 2021 20:13

Obsah rovinného obrazce fce dvou křivek

#2 06. 05. 2021 20:38 — Editoval Ferdish (10. 05. 2021 14:21)

Re: Obsah rovinného obrazce fce dvou křivek

#3 06. 05. 2021 20:53 — Editoval surovec (06. 05. 2021 20:58)

Re: Obsah rovinného obrazce fce dvou křivek

#4 10. 05. 2021 14:09

Re: Obsah rovinného obrazce fce dvou křivek

Zápatí