Matematické Fórum

Ahojte, mám problém s tímto integrálem, zkoušel jsem si goniometrické funkce různě vyjadřovat, ale nic.

[mathjax]π∫_2^π[sin⁡(x)∙sin⁡(x-2) ]^2 dx = [/mathjax]

Interval x∈〈0,π〉 nám určuje plochu, kterou necháme rotovat. Pro zjednodušení výpočtu budeme pracovat s intervaly: x∈〈0,2〉,x∈〈2,π〉, viz Obr.č.12.

[mathjax]V=V_1+V_2-V_3[/mathjax]
[mathjax]V=π∫_0^2[sin⁡(x) ]^2⁡dx+π∫_2^π[sin⁡(x)]^2 dx-π∫_2^π[sin⁡(x)∙sin⁡(x-2) ]^2  dx=[/mathjax]

Využijeme vlastností Reimannova určitého integrálu:
[mathjax]=π∫_0^πsin^2 (x)dx-π∫_2^πsin^2 (x)∙sin^2 (x-2)dx=[/mathjax]
[mathjax]=π∫_0^π[1/2-1/2 cos⁡(2x)]dx-π∫_2^π[1/2-1/2 cos⁡(2x)]∙[1/2-1/2 cos⁡(2(x-2))] dx=[/mathjax]

Pro jednodušší výpočet a přehlednost, si rovnici rozdělíme na dvě části, první z nich:
[mathjax]V_1+V_2=π∫_0^π[1/2-1/2 cos⁡(2x)]dx=π∙[1/2 x-1/4 sin⁡(2x)]_0^π=π^2/2.[/mathjax]
Druhá část:
[mathjax]V_3=π∫_2^π[1/2-1/2 cos⁡(2x)]∙[1/2-1/2 cos⁡(2(x-2))] dx=[/mathjax]

ale nevím jak dál.