#1 07. 06. 2021 09:14
Fourierova řada - stejnoměrná konvergence
Ahoj, mám funkci f(x) = sinh(x)
nakeslil jsem si fourierův rozvoj funkce na (-[mathjax]\pi [/mathjax],[mathjax]\pi [/mathjax])
a mám uvést příklad množiny, kde ta řada konverguje stejnoměrně. Bylo by to tedy například na množině (-[mathjax]\pi [/mathjax]/2,[mathjax]\pi [/mathjax]/2) ?
nebo na jaké?
Offline
#4 07. 06. 2021 17:40
Re: Fourierova řada - stejnoměrná konvergence
sinh je celkem "hezká" funkce (spojitá, hladká, dokonce diferencovatelná do libovolného řádu), takže není důvod, aby to někde nekonvergovalo spojitě. Nicméně pokud uděláš Fourierovu řadu jen z části té funkce (třeba v tom úseku -PI ... +PI), tak to vlastně říkáš, že jde o periodickou funkci, a že ta část sinh(x) se bude periodicky opakovat.
No a v tom bodě, kde jedna sinh končí a druhá začíná, tam vznikne nespojitost, skoková změna. A v takových bodech to konvergovat stejnoměrně nemůže. V nespojitostech to konvertuje "zboku" zatímco stejnoměrná konvergence znamená "shora".
Takže stejnoměrně to nekonverguje akorát v těch hraničních bodech. Všude jinde to stejnoměrně konvergovat nejspíš bude. Ale myslím, že nemůžeme říct, že to stejnoměrně konverguje na intervalu[mathjax](-\pi,+\pi)[/mathjax], ale musíme říct, že to stejnoměrně konverguje na intervalu [mathjax]<-a,+a>[/mathjax], kde [mathjax]a < \pi[/mathjax]. Protože na intervalu [mathjax](-\pi,+\pi)[/mathjax] vždycky najdeme nějaký bod, který nebude dostatečně blízko pro libovolný počet členů řady.
Offline