Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 21. 06. 2021 13:09 — Editoval Fifa_1 (21. 06. 2021 13:37)
Goniometricka rovnice
Rad bych vyresil tuto praktickou ulohu.
Predstavme si samonosny stan, (tyce drzi tropiko napruzenim tak ze konce jsou vetknuty do podlazky ale protoze jsou delsi nez podlazka "vybouli" se nahoru
Pro zjednoduseni predpokladejme ze vysledny bokorys ma tvar kruhove usece.
viz zde:
https://cs.wikipedia.org/wiki/Kruhov%C3 … BAse%C4%8D
zname tedy delku tetivy s a delku oblouku b.
Chceme znat vysku oblouku (h)
Pro delku oblouku existuje vzorecek,
[mathjax]b=\arcsin (\frac s{h+\frac {s^2} {4h}}) (h+\frac{s^2}{4h})[/mathjax]
viz wiky, ale jak z toho vyjadrit h ?
Diky
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) Fifa_1)
#4 21. 06. 2021 14:38 — Editoval Fifa_1 (21. 06. 2021 14:40)
Re: Goniometricka rovnice
↑ Ferdish:
premyslim proc. Ze by pri dane delce oblouku a tetivy slo udelat nekonecne mnoho useci (zalezi na uhlu ktery svira tetiva s tecnou oblouku v bode dotyku ?
Ale opet prakticky - stan postaveny timto zpusobem je vzdycky stejny - protoze tvar neni kruh, ale neco jineho ?(retezovka?)
Offline
#5 21. 06. 2021 14:46
- Ferdish
- Zablokovaný
- Příspěvky: 4173
- Škola: PF UPJŠ (2013), ÚEF SAV (2017)
- Pozice: vedecký pracovník
- Reputace: 81
Re: Goniometricka rovnice
↑ Fifa_1:
Teraz si nie som istý, o čom rozprávaš...pôovodná otázka predsa bola, či sa dá z uvedeného výrazu pre [mathjax]b[/mathjax] úpravami dôjsť k výrazu pre [mathjax]h[/mathjax], alebo sa mýlim?
Offline
#6 21. 06. 2021 15:15
Re: Goniometricka rovnice
↑ Ferdish:snazim se to prevezt do reality, paklize neco nema matematicke reseni, melo by to nejak reflektovat realitu.
Matematicky: nelze dojit k vyrazu pro h protoze zalezi na uhlu tecny (jak jsem psal)....
Realite to neodpovida, protoze ....
Offline
#8 21. 06. 2021 15:42
Re: Goniometricka rovnice
↑ MichalAld: co to znamena "nelze vykompinovat z takových těch běžně známých"
Po diskusi zde si myslim (ale mat. dukaz podat neumim) ze prave z b a s jako jednoznacne reseni definovat nelze, leda s dalsimy parametry (uhel tecny, polomer oblouku...)
Offline
#9 21. 06. 2021 16:32 — Editoval Honzc (21. 06. 2021 16:33)
Re: Goniometricka rovnice
↑ Fifa_1:
Řešení z b a s definovat lze, ale nejde je vyjádřit jako řešení algebraické rovnice.
Pro výpočet platí:
[mathjax]h=\frac{s}{2x}(1-\sqrt{1-x^{2}})[/mathjax]
kde x je řešení transcendentní rovnice (ta je řešitelná pouze numerickými metodami)
[mathjax]arcsin\;x-\frac{b}{s}x=0[/mathjax]
Offline
#10 21. 06. 2021 16:38 — Editoval osman (21. 06. 2021 16:39)
Re: Goniometricka rovnice
↑ Fifa_1:
Já bych tedy stanové tyče spíš podezíral ze splajnového chování - jejich zakřivení je dané dvěma body a tečnami v těchto bodech.
Když je tyčka chycená správně, budou oba konce směřovat k zemi pod stejným úhlem s opačným znaménkem.
A když stan stojí na rovné louce (osa x), odhadoval bych, že tyčka bude mít tvar paraboly s vrcholem nad středem "tětivy" a budou na ní ležet body [-s/2;0], [0;h], [s/2;0].
Hlavní je zápal, talent se dostaví!
Offline
#11 21. 06. 2021 17:23
Re: Goniometricka rovnice
Podle mne bude mit bliz k te retezcovce, protoze se bude snazit minimalizovat celkove napeti v konstrukci. (klasicka
- visici - retezovka minimalizuje potencialni energii) - predpokladame rotacni ulozeni v koncovych bodech.
Kdyby tyce meli byt "zapichnuty" kolmo do zeme - s tetivou sviraly pravy uhel, pak to bude nejaky polynom na koncich jiny nez uprostred.
U klasicke retezovky bude jeji delka b neco jako: [mathjax]b=\int_{\frac{-s}2}^{\frac s 2}\sqrt{1+(sinh \frac ax)^2}[/mathjax]
a vyska [mathjax]h=a*cosh(\frac ax)[/mathjax]
a to uz se mi fakt resit nechce protoze vubec nevim co bych dosadil za a
Offline
#12 21. 06. 2021 17:45
Re: Goniometricka rovnice
Na detailech ale nezáleží ... pokud to nebude shodou okolností nějaká jednoduchá křivka, tak je úloha obecně analyticky neřešitelná (což je nakonec většina věcí, akorát se o tom neučí na střední škole).
Nicméně není až takový problém ji vyřešit numericky ... pokud víme, jak z výšky a šířky spočítat délku té křivky ... tak není problém při zadané třeba šířce a délce ... prostě měnit výšku, počítat délku ... tak dlouho, až nám bude vycházet délka jaká má.
Nejjednodušší metoda je prostě půlení intervalu ... a tak nám stačí jen asi 10 kroků na ztisícinásobení přesnosti.
I takto se můžeme snadno dostat do problémů ... když by třeba křivka byla část elipsy, tak zjistíme, že ani nelze jednoduše spočítat tu její délku...
Offline