Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 16. 07. 2021 00:44

Gauß69
Příspěvky: 32
Reputace:   
 

Prenesenie nerovnosti z kruhov na kompaktnu mnozinu

Zdravim,

v jednej knizke som videl vetu, kde ide o nerovnicu pre slabe riesenie [mathjax]u[/mathjax] parcialnej diferencialnej rovnice [mathjax]\Delta_p u(x)=h(x)[/mathjax] pre [mathjax]x\in\Omega\subset\mathbb{R}^2[/mathjax], pricom [mathjax]\Omega[/mathjax] je ohranicena mnozina. Nerovnica ktoru treba dokazat je pre Hölderov exponent a ma platit na vsetkych kompaktnych podmnozinach [mathjax]K\subset\Omega[/mathjax].

Na zaciatku dokazu je napisane, ze nerovnost staci dokazat len pre [mathjax]\Omega=B_1[/mathjax] a [mathjax]K=B_{1/4}[/mathjax]. Ale nie je tam uvedeny dovod preco to je dostatocne. A to je moj problem.

Moj napad je, ze [mathjax]K[/mathjax] prekryjem kruhmi ktore sa nachadzaju v [mathjax]\Omega[/mathjax] a potom zmenim mierku tychto kruhov a posuniem ich stred do nuly, cize ich pretransformujem na [mathjax]B_{1/4}[/mathjax]. Nasledne na to dokazem tuto nerovnost pre [mathjax]K=B_{1/4}[/mathjax] a [mathjax]\Omega=B_1[/mathjax]. Potom by som nejako preniesol tuto nerovnost na lubovolnu kompaktnu podmnozinu [mathjax]K\subset\Omega[/mathjax]. Ale zial nemam ziaden logicky argument preco by som to mohol preniest na lubovolne [mathjax]K[/mathjax]. Vedel by to prosim niekto argumentovat?

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Gauß69)

#2 16. 07. 2021 12:42

Bati
Příspěvky: 2312
Reputace:   182 
 

Re: Prenesenie nerovnosti z kruhov na kompaktnu mnozinu

↑ Gauß69:
To se takhle obecne rict neda, co to je za nerovnost?

Offline

 

#3 16. 07. 2021 14:10

Gauß69
Příspěvky: 32
Reputace:   
 

Re: Prenesenie nerovnosti z kruhov na kompaktnu mnozinu

↑ Bati:

Ahoj Bati, taketo znenie ma ta veta

Nech [mathjax]\Delta_pu=h[/mathjax] v [mathjax]\Omega [/mathjax] a nech [mathjax]h\in L^q(\Omega )[/mathjax], pricom [mathjax]2<q\leq\infty [/mathjax] a [mathjax]2<p<\infty [/mathjax]. Potom [mathjax]\nabla u \in C^{\beta-1}_\text{loc}(\Omega) [/mathjax]. Okrem toho plati nerovnost pre kazdu kompaktnu podmnozinu [mathjax]K\subset\Omega[/mathjax]:
[mathjax][\nabla u]_{C^{\beta-1}(K)}\leq C(K,p,q,\beta)\cdot \max\left(\|h\|_{L^q(\Omega )}^{\frac{1}{p-1}},\|u\|_{L^\infty(\Omega )}\right)[/mathjax].



Ako som spominal [mathjax]\Omega\subset\mathbb{R}^2 [/mathjax], [mathjax][\nabla u]_{C^{\beta-1}(K)}=\sup\limits_{x,y\in K}\left|\frac{\nabla u(x)-\nabla u(y)}{|x-y|^{\beta-1}}\right|[/mathjax], a [mathjax]\beta[/mathjax] je v zavislosti od [mathjax]p[/mathjax] a [mathjax]q[/mathjax] zadefinovane, vzdy lezi ale v intervale [mathjax][1,2][/mathjax]. Este by som dodal ze [mathjax]\Delta_pu=\text{div}\left(|\nabla u|^{p-2}\nabla u\right)[/mathjax] je [mathjax]p[/mathjax]-Laplace operator, a [mathjax]C^{\beta-1}_\text{loc}(\Omega) [/mathjax] je priestor lokalne Hölder spojitych funkcii.

Offline

 

#4 18. 07. 2021 12:16

Bati
Příspěvky: 2312
Reputace:   182 
 

Re: Prenesenie nerovnosti z kruhov na kompaktnu mnozinu

Ahoj ↑ Gauß69:,

ok, to znamena ze ten odhad se tyka reseni p-Laplaceovy rovnice. Vzhledem k tomu, ze se v te rovnici nevyskytuje prostorova promenna x explicitne, mel bys snadno nahlednout ze dukaz toho odhadu projde stejnym zpusobem na $B_1$ jako na $x_0+B_r$. A to zjevne staci na pokryti libovolneho kompaktu.

Offline

 

#5 18. 07. 2021 14:52

Gauß69
Příspěvky: 32
Reputace:   
 

Re: Prenesenie nerovnosti z kruhov na kompaktnu mnozinu

↑ Bati:

Vdaka. Cakal som za tym nejaky hlbsi matematicky argument, ale asi to bude ako pises, ze dokaz ide analogovo pre lubovolny kruh v [mathjax]\mathbb{R}^2[/mathjax] a nic ine za tym nebude.

(Este mala poznamka: [mathjax]p[/mathjax]-Laplacova rovnica je len specialny pripad [mathjax]p[/mathjax]-Poissonovej rovnice, ked [mathjax]h\equiv 0[/mathjax].)

Offline

 

#6 18. 07. 2021 16:08

Bati
Příspěvky: 2312
Reputace:   182 
 

Re: Prenesenie nerovnosti z kruhov na kompaktnu mnozinu

↑ Gauß69:
Podle me za tim nic vic byt nemuze. Ale kdybys mel nejakou anizotropni rovnici napr. typu
$\text{div}\,(\text{dist}\,(x,\partial\Omega)|\nabla u|^{p-2}\nabla u)=h$,
tak uz ten odhad podle me neudelas (pro kompakty blizko hranice).

(Mas pravdu, ja jen o Poissonove rovnici spis premyslim jako o nehomogenni Laplacove rovnici:)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson