Matematické Fórum

↑ Bati:

Ahoj Bati, taketo znenie ma ta veta

Nech [mathjax]\Delta_pu=h[/mathjax] v [mathjax]\Omega [/mathjax] a nech [mathjax]h\in L^q(\Omega )[/mathjax], pricom [mathjax]2<q\leq\infty [/mathjax] a [mathjax]2<p<\infty [/mathjax]. Potom [mathjax]\nabla u \in C^{\beta-1}_\text{loc}(\Omega) [/mathjax]. Okrem toho plati nerovnost pre kazdu kompaktnu podmnozinu [mathjax]K\subset\Omega[/mathjax]:
[mathjax][\nabla u]_{C^{\beta-1}(K)}\leq C(K,p,q,\beta)\cdot \max\left(\|h\|_{L^q(\Omega )}^{\frac{1}{p-1}},\|u\|_{L^\infty(\Omega )}\right)[/mathjax].



Ako som spominal [mathjax]\Omega\subset\mathbb{R}^2 [/mathjax], [mathjax][\nabla u]_{C^{\beta-1}(K)}=\sup\limits_{x,y\in K}\left|\frac{\nabla u(x)-\nabla u(y)}{|x-y|^{\beta-1}}\right|[/mathjax], a [mathjax]\beta[/mathjax] je v zavislosti od [mathjax]p[/mathjax] a [mathjax]q[/mathjax] zadefinovane, vzdy lezi ale v intervale [mathjax][1,2][/mathjax]. Este by som dodal ze [mathjax]\Delta_pu=\text{div}\left(|\nabla u|^{p-2}\nabla u\right)[/mathjax] je [mathjax]p[/mathjax]-Laplace operator, a [mathjax]C^{\beta-1}_\text{loc}(\Omega) [/mathjax] je priestor lokalne Hölder spojitych funkcii.

↑ Bati:

Vdaka. Cakal som za tym nejaky hlbsi matematicky argument, ale asi to bude ako pises, ze dokaz ide analogovo pre lubovolny kruh v [mathjax]\mathbb{R}^2[/mathjax] a nic ine za tym nebude.

(Este mala poznamka: [mathjax]p[/mathjax]-Laplacova rovnica je len specialny pripad [mathjax]p[/mathjax]-Poissonovej rovnice, ked [mathjax]h\equiv 0[/mathjax].)