Matematické Fórum

↑↑ vlado_bb:

ano - jakékoliv reálné číslo je limitou nějaké posloupnosti půlení intervalu. Já tam ta půlení mám úplně všechna. Takže jakékoliv číslo s ukončeným rozvojem se nachází v řadě číslo n-1, který je dlouhá 2^(n-1), kde n je počet cifer. Jakékoliv reálné číslo s nekonečným rozvojem (atˇuž periodickým, anebo neperiodickým) se nachází v řadě číslo alef nula, má alef nula cifer (tj. spočetně mnoho). Řada je ale "dlouhá" 2^(alef nula), tj. má mohutnost kontinua.

Někde je prostě něco blbě a já fakt nevím kde a co...

↑ Eratosthenes:

... a chyba tam přece jenom je: v řádku n=3 jsem omylem napsal o jedno áčko víc :-)

↑ vlado_bb:

Pro konečné n klidně ano, v tom nespočetném řádku v některých možná ano, ale ve všech určitě ne. A těch, ve kterých nenajdeš racionální souřadnici, je nespočetně mnoho.

↑ check_drummer:

Myslel jsem tím mohutnost řádku, nikoliv jeho pořadí. Řádků je spočetně mnoho, ale ten alef nultý má nespočetně mnoho áček. Když na každé áčko nalepíš nějaké číslo, pak v tomto řádku najdeš všechna racionální čísla s periodickým diadickým rozvojem a všechna čísla iracionální.

↑ vlado_bb:

Toť otázka.

V Euklidovské rovině určitě ne - nekonečnou vzdálenost vylučuje Archimedův axiom. V ní ale nelze sestrojit z těch áček ani množinu spočetnou - i ta spočetná totiž vyžaduje nekonečnou vzdálenost, kterou tam nemáš. 

Ale třeba v projektivní rovině to určitě jde. Tam totiž nemusí být vzdálenost definována, takže v takové rovině tvoje otázka vůbec nemá smysl :-)

↑ Brano:
Ahoj, to, že je Aček spočetně mnoho jsme asi už dokázali výše.
Tady jde o debatu, že Eratosthenes přišel s "důkazem", který tvrdí, že Aček je nespočetně mnoho. Což tedy je špatně, ale zatím se nám nedaří nalézt proč je ten "důkaz" špatně. :-)

Nie je problém v tom, že v štandardnej rovine nie je možné vyrobiť riadok [mathjax]\aleph_0[/mathjax]? Každý ďalší je konečný. Možno v "dlhej" rovine (kartézska mocnina dlhej priamky ([mathjax]\left[0,1\right)\cdot\omega_1[/mathjax]))

↑ check_drummer:
jaj ale ved ta chyba je ocividna, ziaden nekonecny riadok (s indexom [mathjax]\omega[/mathjax]) v rovine nemoze byt
a ked su tam iba riadky s indexami co su prirodzene cisla tak je tych Acok spocitatelne vela (a tych riakov samozreje moze byt nekonecne (spocitatelne) vela)

↑ check_drummer:

Přesně tak...

↑ Brano:

Dobrá - škrtám řádek s indexem omega. O omega, ani o alef nula už ani slovo. Nepotřebuju to. Zůstaňme v obyčejné rovině mého antického kolegy Euklida. Bohatě mi stačí, když je řádků spočetně mnoho, tj. když ke každému řádku existuje řádek následující. Cifer v nekonečném rozvoji každého reálného čísla je totiž taky jenom spočetně mnoho.

Takže si představ

A

A  A

A  A  A  A

A  A  A  A   A  A  A  A
........

jako úplný binární strom se spočetně mnoha řádky,

dále si představ


0,

0  1

0  1  0  1

0  1  0  1  0  1  0  1
.......

jako úplný binární strom se spočetně mnoha řádky (jako správný detailista jsem za vrcholovou nulou udělal diadickou čárku :-)

Vezmi libovolné áčko v prvním stromě a  cestu k němu. Cesta k cifře na stejném místě druhého stromu definuje binární číslo, na které ho zobrazíš.

Vymysli si jaké chceš reálné číslo z intervalu <0;1>. Ve druhém stromě vždycky najdeš příslušnou cestu definující jeho zápis ve dvojkové soustavě a v prvním stromě po stejné cestě příslušné áčko. Zobrazení  áčka --> <0;1> je zobrazení na (skutečně "vyčerpá" celý interval), navíc to není bijekce, ale jen surjekce, protože všechna první áčka v řádcích se zobrazí na nulu. Každé číslo s konečným binárním rozvojem je obrazem nekonečně mnoha áček - těch, pro která si od poslední jedničky ve druhém stromě jdeš vždycky doleva (levý potomek ve druhém stromě je totiž vždycky nula).

Takže v tomto okamžiku nemohu dokonce vyloučit ani to, že množina áček má větší mohutnost než kontinuum.

A teď  bych byl opravdu rád, kdyby mi někdo vysvětlil, co je na tom špatně.

↑ Brano:
Jak to, že nevyrábí nekonečné posloupnosti? Pro libovollné i umí vyrobit i-tou cifru čísla, takže tak vyrobí nekonečnou posloupnost...

Dobre tak povedzme ze mame postupnost [mathjax]\overline{01}[/mathjax] (0,1 periodicky) ... v ktorom riadku sa nachadza Acko ktore tato postupnost reprezentuje? nie nahodou v tom [mathjax]\omega[/mathjax]-tom ktory tam nie je?

Vsetky Acka su umiestnene v riadkoch s konecnym poradovym cislom, t.j. koduju ich konecne postupnosti. Nekonecne postupnosti koduju (nekonecne) cesty v tom grafe od korena k "potencialnym" listkom, lenze tie tam nie su - to by ste museli pripustit ten [mathjax]\omega[/mathjax]-ty riadok. Takto ako to je nadefinovane tak tie cesty nevedu nikam a nie je to nic vynimocne ze ich je nespocitatelne vela co je ostro viac ako pocet Acok cez ktore prechdzaju, ktorych je len spocitatelne vela.

↑ check_drummer:

Tak mám dojem, že ↑ Brano:  právě vykopal toho zakopaného psa - já už jsem si pomalu myslel, že jsem se fakt zbláznil :-)

Neuvědomil jsem si, že v euklidovské rovině nemám pro nekonečný rozvoj pozici, ale jenom cestu. Těch cest je samozřejmě nespočetně mnoho, každá končí v jiném bodě na tom omegátém řádku, který v e. rovině sice nemám, ale v projektivní rovině ano (proto jsem s tím začal). Ale ani projektivní  rovina problém neřeší - mám sice nespočetně mnoho izolovaných pozic, ale kolem nich bohužel nesestrojím ta áčka. Ta by totiž musela být celá z nevlastních bodů a to fakt nevím, jak bych udělal.  Kdyby na tom omegátém řádku stačila z každého áčka jenom ta vodorovné příčka, tak by to šlo :-) 

Ona je to vlastně podobná situace jako v euklidovské rovině, kde napíšeš A, pod dva konce jeho nožiček dvě áčka poloviční velikosti a atd. do nekonečna. "Posledním" krokem tak vyplníš nějakou úsečku, jenomže místo každého áčka máš bod (to byl úplně první nápad).

OK, hlavou zeď neprorazím a ani spočetnost neporazím. Ale aspoň snaha byla...