Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 12. 10. 2021 09:00
Teoretická mechanika
Zdravím, potřebuji pomoc s následujícím příkladem:
Brouček se pohybuje pro trajektorii, která je v polárních souřadnicích popsána rovnicemi
[mathjax]r=\frac{bt}{\tau ^2}(2\tau -t)[/mathjax], [mathjax]\varphi =\frac{t}{\tau }[/mathjax],
kde b a [mathjax]\tau [/mathjax] jdou kladné konstanty. Najděte vektor rychlosti broučka v polárních souřadnicích a ukažte, že nejmenší rychlost, kterou bude brouček mít, má velikost [mathjax]\frac{b}{\tau }[/mathjax]. Najděte zrychlení broučka v okamžiku, kdy má jeho rychlost nejmenší velikost.
Zvládl jsem si vyjádřit rychlost, která mi vyšla:
[mathjax]\overrightarrow{v}=\frac{2b}{\tau ^2}(\tau -t)\overrightarrow{e_{r}}+\frac{bt}{\tau ^3}(2\tau -t)\overrightarrow{e_{\varphi }}[/mathjax]
Ale nevím si rady s tím jak ověřit tu nejmenší rychlost.
Předem děkuji za rady
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) Herefrei)
#2 12. 10. 2021 12:30
Re: Teoretická mechanika
↑ Herefrei:
Hezký den.
Řekl bych, pomocí derivací spočítat minimum absolutní hodnoty [mathjax]\vec{v}[/mathjax].
Pro zjednodušení výpočtu stačí najít minimum čtverce této hodnoty tj.
[mathjax]{v^2}=\left[\frac{2b}{\tau ^2}(\tau -t)\right]^2+\left[\frac{bt}{\tau ^3}(2\tau -t)\right]^2[/mathjax]
(minima nabývá ve stejném bodě, jako [mathjax]|\vec{v}|[/mathjax],
podle mě vyjde min = b/τ).
Pokud se tedy nemýlím.
Offline
#4 13. 10. 2021 16:40
Re: Teoretická mechanika
↑ Herefrei:
Pravou stranu výrazu pro čtverec rychlosti pro zprůhlednění upravím takto:
[mathjax]\frac{4b^2}{\tau^4}(\tau -t)^2+\frac{b^2}{\tau^6}(2\tau t-t^2)^2[/mathjax]
Teď derivace podle t:
[mathjax]2\cdot\frac{4b^2}{\tau^4}(\tau -t)\cdot(-1)+2\cdot\frac{b^2}{\tau^6}(2\tau t-t^2)\cdot(2\tau-2t)[/mathjax]
Pokud jsem se nepřeklepl, tak je zřejmé, že z uvedeného dvojčlenu lze vytknout výraz [mathjax](\tau-t)[/mathjax]. Můžete to využít v dalším postupu.
Pokud se tedy nemýlím.
Offline