Matematické Fórum

Ahoj,

použij zákon zachování energie: Na začátku je všechno v klidu, závaží má polohovou energii.
Když závaží o určitou výšku klesne, bude mít pohybovou energii, a kolo se roztočilo, bude mít také určitou pohybovou energii.

Z rovnice pro energii vyjádříme rychlost závaží.

Závaží se pohybuje z klidu rovnoměrně zrychleným pohybem.
Proto ještě využijeme vztahy pro rychlost a dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu, odkud vyjádříme zrychlení.

↑ Dino105:

Dráha bude výška [mathjax]h[/mathjax] použitá ve výrazu pro polohovou energii [mathjax]mgh[/mathjax]
a pro zrychlený pohyb z klidu máme

[mathjax]\quad v=at[/mathjax]
[mathjax]\quad h=\frac{1}{2}at^2[/mathjax]

to jsou dvě rovnice s neznámými [mathjax]a,t[/mathjax].
Výška [mathjax]h[/mathjax] nakonec "vypadne".

můžeš vložit foto postupu či odkaz?
třeba pomocí https://imgbb.com/ nebo https://ctrlv.cz/

↑ Dino105:

Z rovnice

[mathjax]\displaystyle\quad mgh=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}J\omega^2[/mathjax]

resp.

[mathjax]\displaystyle\quad  mgh=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}J\left(\frac{v}{r}\right)^2[/mathjax]

vyjádři [mathjax]v^2[/mathjax]

Dále máme rovnice pro rovnoměrně zrychlený pohyb

[mathjax]\displaystyle\quad v=at,\quad h=\frac{1}{2}at^2[/mathjax]

z první vyjádřím čas a dosadím do druhé, dostanu

[mathjax]\displaystyle\quad a=\frac{v^2}{2h}[/mathjax]

Sem pak dosadíš za [mathjax]v^2[/mathjax] z předchozího.

↑ Dino105:

ne :)

[mathjax]\displaystyle\quad  mgh=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}J\frac{v^2}{r^2}[/mathjax]

na pravé straně vytknu z obou členů

[mathjax]\displaystyle\quad  mgh=\frac{1}{2}v^2\left(m+\frac{J}{r^2}\right)[/mathjax]

rovnici násobím dvěma

[mathjax]\displaystyle\quad  2mgh=v^2\left(m+\frac{J}{r^2}\right)[/mathjax]

vyměním strany rovnice

[mathjax]\displaystyle\quad  v^2\left(m+\frac{J}{r^2}\right)=2mgh[/mathjax]

dělím obě strany rovnice závorkou

[mathjax]\displaystyle\quad  v^2=\frac{2mgh}{m+\frac{J}{r^2}}[/mathjax]

↑ Dino105:

Hezký den.

Ve výsledném  vzorečku tady ↑ Dino105: máte myslím chybu. Podle mě má být
[mathjax]a=\frac{mgr^2}{mr^2+J}=...\doteq 2.8\,m/s^2[/mathjax]

Řekl bych, při výpočtu raději vycházet z pohybové rovnice pro rotaci (obdoba 2. Newtonova zákona):

M = Jε, kde
Μ = moment síly roztáčející kolo = F*r
J  = moment setrvačnosti kola
ε = úhlové zrychlení kola

a = rε = zrychlení bodu na obvodu kola = zrychlení závaží
F = mg-ma, -> M = mr(g-a) a pohybová rovnice by měla být

mr(g-a) = Jε = Ja/r, z ní vyjádřit 'a'

Snad jsem to nepopletl.

↑ Jj:

Ano, toto řešení je elegantnější než můj postup.

Ještě dokončím svůj výpočet, aby bylo vidět, že oba vedou ke stejnému závěru:

[mathjax]\displaystyle\quad  v^2=\frac{2mgh}{m+\frac{J}{r^2}}[/mathjax]

[mathjax]\displaystyle\quad a=\frac{v^2}{2h}=\frac{mg}{m+\frac{J}{r^2}}=\frac{mgr^2}{mr^2+J}[/mathjax]