Matematické Fórum

Zdravím, snažím sa riešiť jeden príklad a obávam sa, že absolútne nechápem, ako sa rieši Fourierova rada.
(Ospravedlňujem sa za suboptimálne preklady, trochu mi uniká CZ/SK matematické lingo)

Príklad znie: Rozpíšte (expand) Fourierovu radu funkcie [mathjax]F(x)[/mathjax] s periódou 8.

[mathjax]F(x) =
\left\{
    \begin{array}{ll}
        2-x  & \mbox{if } 0 < x < 4 \\
        x-6 & \mbox{if } 4 < x < 8
    \end{array}
\right.[/mathjax]

Porovnával som si svoje riešenie s učiteľským a chápem, ako sa dostanem k tomu, že [mathjax]a_0 = 0[/mathjax], [mathjax]b_n = 0[/mathjax] (párna funkcia) a rovnicu [mathjax]a_n[/mathjax]:

Avšak nechápem jeden integrál v druhej časti riešenia:


Ja som si tiež rozdelil [mathjax]a_n[/mathjax] na 4 časti
[mathjax]a_n = \frac{1}{4}(int_1 - int_2 - int3 + int_4)[/mathjax]

A [mathjax]int_1[/mathjax], [mathjax]int_2[/mathjax] a [mathjax]int_3[/mathjax] sú mi jasné, ale pre [mathjax]int_4[/mathjax] mi vychádza niečo iné:
[mathjax]int_4 = \int_{4}^{8}xcos\frac{\pi n x}{4}dx
= \left| x\frac{4}{\pi n} sin\frac{\pi n x}{4}\right|^8_4 - \int_{4}^{8} \frac{4}{\pi n} sin\frac{\pi n x}{4}
\\ = 0 - \left| (\frac{4}{\pi n})^2 cos\frac{\pi n x}{4}\right|^8_4
\\ = - (\frac{4}{\pi n})^2 (cos\frac{\pi n 8}{4} - cos\frac{\pi n 4}{4}) [/mathjax]
teda k výsledku štvrtého integrálu [mathjax](\frac{4}{\pi n})^2 [cos(2\pi n ) - cos(\pi n )][/mathjax]

Ako prišiel učiteľ ku [mathjax](\frac{4}{\pi n})^2 [1- cos(\pi n )][/mathjax] ?