Matematické Fórum

Odvození středové rovnice elipsy a hyperboly s ohnisky F_1 = [-e, 0] a F_2 = [+e, 0] je často podáváno způsobem, který je logicky jasný, přímo odpovídá definici těchto křivek, ale má tu vadu, že vede na nepřehledné výrazy z mnoha členy a práce s nimi je nepohodlná.
Vše je dáno tím že délky průvodičů bodu M = [x,y]  dané křivky, tj. r_1 = F_1M a r_2 = F_2M jsou dány odmocninami a tyto odmocniny pak sčítáme / odčítáme. Chci ukázat, že se lze tomu vyhnout a odvození je pak přehledné.

Je zřejmé, že

(r_1)^2 = (x+e)^2 + y^2
(r_2)^2 = (x -e)^2 + y^2

Pak ovšem

(r_1)^2  - (r_2)^2 = (x+e)^2 - (x-e)^2 = 4xe,  ale taky
(r_1)^2  - (r_2)^2 = (r_1  +  r_2) *  (r_1  -  r_2)

Pro elipsu dosadíme (r_1  +  r_2) = 2a,  dostaneme tedy

2a * (r_1 - r_2) = 4xe,  respektive

r_1 -  r_2 = 2xe/a, k tomu přičteme známé
r_1 + r_2 = 2a

Po vydělení 2 dostaneme jednoduchý výraz

r_1 = (xe/a) + a

Teprve nyní rovnici umocníme a porovnáme s kvadrátem délky průvodiče uvedeným výše:

(x+e)^2 + y^2 = [(xe/a) + a]^2

takže

x^2 [(a^2 - e^2)/a^2] + y^2 = a^2 - e^2

Nakonec zavedeme a^2 - e^2 = b^2 a celou rovnici touto mocninou podělíme, čímž dostaneme

x^2 /  a^2 + y^2 / b^2 = 1

Odvození rovnice hyperboly je analogické, jen (r_1 - r_2) = 2a
a nakonec položíme a^2 - e^2 = -(b^2), takže

x^2 /  a^2 - y^2 / b^2 = 1

Snad tento příspěvek povede k jednoduššímu výkladu i k snadnějšímu pochopení rovnic.