Matematické Fórum

Ukolem je pro zadane [mathjax]n \ge 3[/mathjax] najit pocet cisel delky [mathjax]n[/mathjax] takovych, ze prvni cifra ([mathjax]a_1[/mathjax]) muze byt 1-8, [mathjax]a_2 > a_1[/mathjax], [mathjax]a_3 < a_2[/mathjax], [mathjax]a_4 > a_3[/mathjax], [mathjax]a_5 < a_4[/mathjax], atd...
Tedy je to kombinatoricky problem a ukolem je najit obecny predpis.

Ja jsem se dopracoval k sumam, ale nevim, jak bych to udelal pro obecne [mathjax]n[/mathjax]:

Napr. pro [mathjax]n=6[/mathjax] dostavame:
[mathjax]    \sum_{k_1=1}^8
    \sum_{k_2=k_1+1}^9
    \sum_{k_3=0}^{k_2-1}
    \sum_{k_4=k_3+1}^9
    \sum_{k_5=0}^{k_4-1}
    \sum_{k_6=k_5+1}^9[/mathjax]

Tedy pro libovolne [mathjax]n \ge 3[/mathjax] bude vzdy pritomna prvni suma [mathjax]\sum_{k_1=1}^8[/mathjax], pak tam bude
[mathjax]\lceil{\frac{n-1}{2} }\rceil[/mathjax] sum typu [mathjax]\sum_{k_i=k_{i-1}+1}^9[/mathjax] a
[mathjax]\lfloor{\frac{n-1}{2} }\rfloor[/mathjax] sum typu [mathjax]\sum_{k_i=0}^{k_{i-1}-1}[/mathjax].

Mozna se to da resit jinak nez pres sumy, ale zatim me napadlo jen tohle...