Matematické Fórum

Zdravím,

potřeboval bych ověřit některé kroky následujícího výpočtu:

Zadání:
[mathjax]\int_{0}^{\infty }\frac{1-exp(-ax)}{x.exp(x)}dx[/mathjax]

Má vyjít: [mathjax]I=ln(1+a),a>(-1)[/mathjax]

Postup:
Derivace podle parametru "a":
[mathjax]\frac{\partial }{\partial a}(\frac{1-exp(-ax)}{x.exp(x)})=exp(-(a+1))x[/mathjax]

Integrace podle "x"
[mathjax]\int_{0}^{\infty }exp(-(a+1))xdx=\frac{1}{a+1}=F'(a)[/mathjax]

Následně
[mathjax]F(a)=\int_{}^{}\frac{1}{a+1}da=ln(a+1)+C[/mathjax]

Zvolím a = 0,
[mathjax]F(0)=ln(0+1)+C=ln(1)+C=0+C, C=0[/mathjax]

A tedy celkem
[mathjax]I=ln(a+1)[/mathjax], za podmínky [mathjax]a>(-1)[/mathjax]

Což souhlasí s uvedeným výsledkem.

Ověření předpokladů pro záměnu derivace a integrace:

1) Integrandem je složení spojitých funkcí, integrand je tedy spojitá funkce, což implikuje, že je měřitelná

2) Existence alespoň jednoho "a", pro které původní integrál existuje (je konečný) - zvolím-li a = 0, je

[mathjax]\frac{1-exp(ax)}{x.exp(x)}\Rightarrow \frac{1-exp(0x)}{x.exp(x)}\Rightarrow \frac{1-1}{x.exp(x)}=0[/mathjax], [mathjax]\int_{0}^{\infty }0dx = 0[/mathjax]

Tedy podmínka by měla být splněna.

3) Existence derivace podle "a":  [mathjax]\frac{\partial }{\partial a}(\frac{1-exp(-ax)}{x.exp(x)})=exp(-x(a+1))[/mathjax], pro a>(-1) je konečná

4) Integrovatelná majoranta pro derivaci:

[mathjax]|e^{-x(a+1)}|<e^{-\delta x}, \delta>0[/mathjax]

A TADY SI NEJSEM JISTÝ, ZDA JSEM SPRÁVNĚ ZVOLIL PODMÍNKU PRO DELTA - JESTLI NEMÁ BÝT NAPŘ. DELTA < (a+1) NEBO JEŠTĚ JINAK.


BUDU RÁD ZA JAKÉKOLI KRITICKÉ ZHODNOCENÍ POSTUPU A ZEJMÉNA POMOC S TÍM ÚPLNÝM KONCEM - TEDY PODMÍNKA PRO INTEGROVATELNOU MAJORANTU PRO DERIVACI.

PŘEDEM DÍKY!