Matematické Fórum

Ahoj, prosím o pomoc s těmito příklady:

Kmity
Kinematika kmitavého pohybu
1.
Kmitání harmonického oscilátoru je vyjádřené rovnicí: 𝑦(𝑡) = 0,15 sin(10𝜋𝑡 +𝜋3)
(m, s). Zjistěte:
a) amplitudu výchylky
b) periodu a frekvenci
c) počáteční fázi
d) okamžitou výchylku, rychlost a zrychlení v čase 𝑡 = 0,5 s

2. Kmitání oscilátoru je dané rovnicí: 𝑦(t) = 4 sin(0,5𝜋𝑡) (cm, s). Za jak dlouho
dosáhne okamžitá výchylka oscilátoru poloviční velikost amplitudy výchylky?

3. V reproduktoru se vytváří zvuk pomocí kmitající membrány. Předpokládejme,
že u daného reproduktoru činí maximální výchylka 1.10-3 mm. Určete obor
frekvencí, při kterých převyšuje zrychlení membrány hodnotu tíhového zrychlení g?

4. Napište rovnici harmonického kmitání, jestliže je perioda kmitů 2 s, maximální
zrychlení 49,3 cm/s2 a výchylka v čase 𝑡 = 0 s je 𝑦(0) = 25 mm.

5. Břit elektrického holicího strojku se přesouvá sem a tam na vzdálenosti 2 mm. Jeho
pohyb lze považovat za harmonické kmitání s frekvencí 120 Hz. Určete
a) amplitudu kmitů
b) největší rychlost břitu
c) největší zrychlení břitu
Dynamika kmitavého pohybu

6. Na pružině s tuhostí 0,1 N/m netlumeně kmitá těleso o hmotnosti 1 kg. Vypočítejte
jeho maximální výchylku, když víme, že v čase 2 s má těleso okamžitou výchylku
5 cm.

7. S využitím appletu 2 určete hmotnost zeleného závaží.

8. Těleso hmotnosti 0,5 kg kmitá na pružině s tuhostí 0,3 N/m a jeho amplituda
je 50 cm. Jaká je jeho okamžitá výchylka, rychlost a zrychlení v čase 2 s?

9. Kmitající těleso na pružině prochází rovnovážnou polohou s okamžitou rychlostí
5 m/s. Amplituda kmitů je 15 cm a tuhost pružiny 0,4 N/m. Vypočítejte hmotnost
tělesa.

10. Kyvadlo s délkou závěsu 40 cm kmitá se stejnou periodou jako těleso zavěšené na
pružině o tuhosti 20 N/m. Určete hmotnost tělesa.

11. Při měření tíhového zrychlení matematickým kyvadlem s délkou 200 cm se zjistilo
21 kmitů za minutu. Určete toto tíhové zrychlení.

12. Závaží o hmotnosti 1 kg je zavěšené na vlákně o délce 1 m. Druhé závaží o hmotnosti
také 1 kg je zavěšeno na vlákně o poloviční délce.
a) Které závaží bude mít kratší periodu kmitů? Ověřte s použitím appletu 1.
b) Vypočtěte periodu kmitů obou závaží. Výsledky porovnejte s appletem 1.
c) Při jaké délce vlákna druhého tělesa budou periody kmitů v poměru 2:3?
Energie kmitavého pohybu

13. Kmitající těleso má mechanickou energii 1 J. Kmitání probíhá s amplitudou 10 cm
a maximální rychlost tělesa je 1,2 m/s. Určete
a) tuhost pružiny
b) hmotnost tělesa
c) frekvenci kmitání

14. Těleso s hmotností 𝑚 = 2 kg koná netlumené harmonické kmity podle rovnice:
𝑦(t) = 0,5 sin(5𝑡) (m, s). Určete jeho potenciální energii v bodě obratu. Jaká bude
v tomto bodě jeho kinetická energie?

15. Netlumený harmonický oscilátor o hmotnosti 𝑚 = 1 kg dosahuje při kmitaní
maximální výchylky 0,5 m a jeho celková energie je 30 J. Napište rovnici okamžité
výchylky jako funkci času.

16. Hmotný bod koná harmonický pohyb určený rovnicí 𝑦(t) = 5. sin(6𝜋.𝑡) (cm, s).
V jakém čase je jeho kinetická energie třikrát větší než potenciální energie pružnosti?
Tlumené kmity

17. Jaký je koeficient útlumu tlumených harmonických kmitů hmotného bodu, pokud
je podíl dvou za sebou následujících amplitud výchylky na tutéž stranu roven
2 a perioda tlumených kmitů je 0,5 s? Jaká by byla perioda netlumených kmitů
za stejných podmínek?

18. Logaritmický dekrement tlumeného harmonického pohybu hmotného bodu
je 0,03. Vypočítejte, jakou část mechanické energie ztratí hmotný bod za 20 s trvání
pohybu, je-li perioda tlumeného pohybu T = 2 s.

Vlny,Zvuky Dopp. jev
Není –li uvedeno jinak, počítejte s rychlostí zvuku ve vzduchu 340 m/s.

1. Lidské ucho slyší frekvence přibližně od 16 Hz do 16 kHz. Jaké jsou vlnové délky
příslušných zvukových vln?

2. Nejmenší vlnová délka zvukového vlnění, které je schopný vydat netopýr,
je 3,3 mm. Jaká je příslušná frekvence?

3. K vyšetřování nádorů v měkkých tkáních používají lékaři ultrazvuk o frekvenci
4,5 MHz.
a) Jakou vlnovou délku mají tyto vlny ve vzduchu?
b) Jestliže je rychlosti zvuku v tkáni 1500 m/s, jaká je odpovídající vlnová délka?

4. Do vzdáleného stromu udeřil blesk. Mezi bleskem a hromem uplynuly asi 4 s.
Jaká je vzdálenost zasaženého stromu od nás?

5. Pozorovatel, který stojí ve vzdálenosti 2 000 m od střelce, zjistí, že mezi
zábleskem a zvukovým vjemem při výstřelu uplyne doba 5,9 s. Jaká je teplota
vzduchu?

6. Netopýr se pohybuje směrem k překážce stálou rychlostí o velikosti 10,0 m/s.
Zvukový signál, který vyslal směrem dopředu, se po odrazu vrátil k netopýrovi
za dobu 0,15 s od vyslání. Teplota vzduchu je 26°C. Kolik času zbylo netopýrovi,
aby se překážce vyhnul?

7. Ponorka se pohybuje pod hladinou moře stálou rychlostí o velikosti 18 km/h.
Zvukový signál, který vyslala směrem dopředu, se ve vodě šíří rychlostí
o velikosti 1400 m/s a po odrazu od překážky se vrací k ponorce. Od vyslání
signálu do jeho přijetí po odrazu uplyne doba 50 ms. Na změnu směru ponorky
je potřebná doba 5,0 s. Narazí ponorka na překážku?

8. Jste na hudebním koncertě a sedíte 300 m od reproduktoru. Koncert
je vysílán v přímém přenosu přes satelit (rychlostí světla). Kdo slyší úvodní akord
hudbu dříve: vy – přímí účastnící nebo posluchač sedící 10 m od rádia vzdáleného
5000 km od místa koncertu? Jak veliký je časový rozdíl?

9. Zemětřesením vznikají v zemském nitru zvukové vlny. Na rozdíl od plynů
se v Zemi šíří jak příčné (S ‐ sekundární), tak podélné (P ‐ primární) vlnění.
Rychlost S‐vln je 4,5 km/s, rychlost P‐vln je asi 8km/s. Seismograf zaznamená
první P‐vlny tři minuty před příchodem S‐vln. Předpokládejte, že vlny se šířily
přímočaře. V jaké vzdálenosti probíhalo zemětřesení?

10. Do studny hodíte kámen a za 3 sekundy uslyšíte šplouchnutí. Jak je studna
hluboká?

11. Sonar ponorky vyšle signál, který se po odrazu od podmořské překážky vrátí
za 20 s, jak daleko je překážka?

12. Rovinná mechanická vlna je vyjádřena rovnicí u(t) = 0,05 sin (2t - 2x), kde u je
výchylka částice [cm], t čas [s], x souřadnice směru šíření vlny. Stanovte:
a) frekvenci vlny f,
b) fázovou rychlost vlny v,
c) délku vlny λ ,
d) amplitudu kmitů rychlosti každé kmitající částice.

13. Jaká je vlnová délka postupné vlny, jestliže rozdíl fází v bodech vzdálených
od sebe o Δx = 2,5 m je Δφ = π ?

14. Stojíte na chodníku u cesty, po které projíždí rychlostí 20 m/s houkající sanitka.
Siréna sanitky vysílá stálý tón frekvence 1 kHz. Jakou frekvenci zaregistrujete,
jestliže se sanitka:
a) Přibližuje?
b) Vzdaluje?

15. Francouzská a americká ponorka plují přímo proti sobě při manévrech v klidných
vodách severního Atlantiku. Francouzská pluje rychlostí 50 km/h, americká
rychlostí 70 km/h. Francouzi vyšlou sonarový signál (zvukovou vlnu ve vodě)
o frekvenci 1000 Hz. Sonarové vlny se ve vodě šíří rychlostí 1519,5 m/s.
a) Jakou frekvenci signálu zachytí Američané?
b) Jakou frekvenci zachytí Francouzi v signálu odraženém zpátky od americké
ponorky?

16. Letadla lze dělit na podzvuková a nadzvuková. Nadzvuková (např. vojenské
stíhačky) mohou létat rychlostí i 3x větší než je rychlost zvuku.
a) Jaká je tato rychlost v km/h?
b) Jak dlouho by touto rychlostí trval let Praha-Brno, což je cca 200 km?

17. Letadlo letí 1,25 krát rychleji než je rychlost šíření zvuku ve vzduchu. Rázová vlna
zasáhne muže na zemi půl minuty poté, co mu letadlo přeletělo přesně nad
hlavou. V jaké výšce letadlo letělo? V jaké vzdálenosti se v dané chvíli nachází
od pozorovatele?

18. Určete hladinu intenzity zvuku na prahu bolesti s intenzitou 1 W/m2, je-li
intenzita prahu slyšení 1.10-12 W/m2.

19. Určete intenzitu zvuku příslušející 80 dB, tj. např. hlasité hudbě či křiku.

20. Reprodukční soustava má akustický výkon 12 W. Vypočtěte hladinu intenzity
zvuku ve vzdálenosti 3 m. Přepokládejme rovnoměrné šíření zvuku v prostoru.

Bonus:
Lyžař sjíždí z kopce, která přechází do vodorovné roviny. Určete, na jaké vzdálenosti lyžař zastaví, je-li koeficient tření mezi lyžemi a sněhem 0,1. Na konci kopce má lyžař rychlost  5,5  m/s.  Předpokládejme,  že  veškerá  energie  lyžaře se změní v práci třecích sil.