Matematické Fórum

Needy · 18. 10. 2009 21:48

poradil by mi prosím někdo, jak mam obecně zpočítat úhel mezi dvěma přímkami v ploše zadanými pomocí jednoho bodu a směrnice?

zdenek1 · 18. 10. 2009 22:04

↑ Needy:
$p_1:y=k_1x+q_1\ \Rightarrow\ k_1x-y+q_1=0$
$p_2:y=k_2x+q_2\ \Rightarrow\ k_2x-y+q_2=0$
Normálové vektory jsou pak
$\vec{n_1}=(k_1;-1)$ , $\vec{n_2}=(k_2;-1)$
odchylka je
$\cos\varphi=\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|n_1|\cdot|n_2|}=\frac{k_1k_2+1}{\sqrt{(k_1^2+1)(k_2^2+1)}}$

Needy · 18. 10. 2009 22:12

mohl bys mi to prosim jeste ukazat na nejakym prikladu?

Oxyd · 18. 10. 2009 22:14

Nešlo by odečíst směrový úhly?

$p_1 \;:\; y = k_1 x + q_1$
$p_2 \;:\; y = k_2 x + q_2$
$\varphi = |\arctan(k_1) - \arctan(k_2)|$ -- odchylka.

Posunutí těch přímek (daný těma q'čkama, resp. danýma bodama ze zadání) by neměly ten úhel ovlivnit.

Needy · 18. 10. 2009 22:26

no a nemohli byste mi to jeste nekdo ukazat na prikladu, kdyz dostanu nejaky bod a smerovost? :-) abych vedel co kam dosazovat..

Oxyd · 18. 10. 2009 22:49

No -- v otázce si měl "obecně", tak sme ti dali obecná řešení. x) Ale dobrá.

Mějme dvě přímky, p1 prochází bodem [0; 1] a má směrnici $k_1 = -\sqrt{3}$ ; p2 prochází bodem [2; 5] a má směrnici $k_2 = 1$ . (Čísla jsem nasázel z hlavy jak mě napadla, takže to může vyjít škaredě.)

A teďka prostě použijeme vzoreček, který nám Zdeněk odvodil, to jest:
$\cos \varphi = \frac{ k_1 k_2 + 1 }{ \sqrt{ \left( k_1^2 + 1 \right) \left( k_2^2 + 1\right) } } = \frac{ -\sqrt{3} + 1 }{ \sqrt{ \left( 3 + 1 \right) \left( 1 + 1 \right) } } = \frac{ -\sqrt{3} + 1 }{ \sqrt{8} }$ -- tohle je kosinus odchylky, když to "odkosinujeme", dostaneme úhel $\frac{7}{12} \pi$ (v radiánech, samozřejmě).

Když si vyzkoušíme můj postup:
$\varphi = |\arctan(k_1) - \arctan(k_2)| = |\arctan(-\sqrt{3}) - \arctan(1)|$ -- tohle nacpeme do kalkulačky a vypadne nám: $\frac{7}{12} \pi$ .

Skutečně ani v jednom postupu nepotřebujeme znát celou přímku -- jejich směrnice nám stačí.

Needy · 18. 10. 2009 23:01

Takze to jakym prochazi bodem je uplne jedno jo?

Oxyd · 18. 10. 2009 23:04

No ano -- ani v jednom vzorečku ten bod nikde nefiguruje. Když si nakreslíš dvě přímky (různoběžné) a pak si ke každé nakreslíš hromadu rovnoběžek, tak uvidíš, že je jedno, kterou z těch rovnoběžek si vybereš pro určování toho úhlu -- ten úhel bude vždy stejný.

Needy · 18. 10. 2009 23:13

A kdyz vyjde k stejne, tak jsou rovnobezne?

Oxyd · 18. 10. 2009 23:41

Ano. Rovnoběžné nebo je to jedna a tatáž přímka. Zkus si vzpomenout, co to je ten směrový úhel a nakreslit si několik přímek se stejným směrovým úhlem (a tím pádem i stejnou směrnicí, neboť ta je tangentou směrového úhlu).

Needy · 19. 10. 2009 12:20

ok, tak diky moc za pomoc

Matematické Fórum

#1 18. 10. 2009 21:48

analytika

#2 18. 10. 2009 22:04

Re: analytika

#3 18. 10. 2009 22:12

Re: analytika

#4 18. 10. 2009 22:14

Re: analytika

#5 18. 10. 2009 22:26

Re: analytika

#6 18. 10. 2009 22:49

Re: analytika

#7 18. 10. 2009 23:01

Re: analytika

#8 18. 10. 2009 23:04

Re: analytika

#9 18. 10. 2009 23:13

Re: analytika

#10 18. 10. 2009 23:41

Re: analytika

#11 19. 10. 2009 12:20

Re: analytika

Zápatí