Matematické Fórum

FabulousDeniska

Ahojí potřebovala bych pomoc s výpočtem následujících limit. Problém je v tom, že mě nenapadá jak začít. Tyto limity se řeší jiným způsobem, než na který jsme byli zvyklý na střední škole. Ve cvičení jsem vůbec nepochopila větu o 2 strážnících, protože jediné co cvíčící dělá je to, že příklady napíše a když něco počítá tak je jen nepřehledně zapíše a řekne : No prostě tak to má takhle být nooo... a z něčeho takového to opravdu není zřetělně jasné. Proto bych Vás zdatnější požádala o výpočet těchto limit , ale hlavně o bohatý komentář, abych byla schopná tento druh příkladu řešit již bez chyb a s porozuměním celé problematiky.. Díky

lukaszh

↑ FabulousDeniska:
$x_n=\frac{n!}{n^n}$
Myslím, že postačujúce je, aby táto postupnosť bola monotónna a ohraničená. Táto je klesajúca, zdola ohraničená číslom 0. Potom ukážem, že je to aj limita tej postupnosti.

Monotónnosť: Zisťujem, či je klesajúca

Je teda klesajúca. Ešte ohraničenosť. Predpokladal som na začiatku, že dolné ohraničenie je 0. No to je zrejme pravda, pretože $x_n$ nemôže nadobúdať záporné hodnoty. Teda $\forall n\in\mathbb{N}\,:\;x_n\,>\,0$ . Teraz ideme ukazovať, že toto číslo je aj limitou. Najlepšia bude zrejme tá metóda, ktorú popisuješ. Ak majú postupnosti $a_n,c_n$ rovnaké limity, tak aj postupnosť $b_n$ , pre ktorú $a_n\le b_n\le c_n$ , má rovnakú limitu. Postupnosť v strede teraz poznáme, a chceme ukázať, že jej limitou je 0. Teda hľadám postupnosti $a_n,c_n$ , ktoré majú limity 0, ale zároveň platia uvedené nerovnosti. Tak napríklad
$0\,<\,\frac{n!}{n^n}\le\frac{1}{n}$
Zvolil som teda postupnosti $a_n=0\,,\;c_n=\frac{1}{n}$ . Posledný odhad vyplýva z jednoduchej úvahy pre čitateľ
$n!=n\cdot(n-1)\cdots3\cdot2\cdot1\le n\cdot n\cdots n\cdot n\cdot 1=n^{n-1}$
Odtiaľ si už jednoducho odvodíš požadovanú postupnosť. Teraz už len ukáž výpočtom aká je limita.

Marian · 19. 10. 2009 17:55 — Editoval Marian (19. 10. 2009 17:56)

↑ FabulousDeniska:

Poslední úloha se řeší velmi snadno a elementárně:

(1) Podle binomické věty stačí umocnit na 100 (budou stačit první dva členy umocnění):

(2) Odečtením máme
$\frac{(n+4)^{100}-(n+3)^{100}}{(n+2)^{100}-n^{100}}=\frac{n^{100}+400n^{99}+P_1(n)-n^{100}-300n^{99}-P_2(n)}{n^{100}+200n^{99}+P_3(n)-n^{100}}=\frac{100n^{99}+P_1(n)-P_2(n)}{200n^{99}+P_3(n)}.$

Vzhledem k tomu, že stačí nyní vytknout 99. mocninu n a uvědomit si, že všechny tři polynomy $P_i(n)$ , $1\le i\le 3$ , mají stupeň 98, máme výsledek ve tvaru L=1/2, kde L značí původní limitu.

Kondr · 19. 10. 2009 17:57 — Editoval Kondr (19. 10. 2009 17:58)

Věta o dvou strážnících říká (polopatě) toto: když pro nějaké tři výrazy a(n),b(n),c(n) platí nerovnost $a(n)\leq b(n)\leq c(n)$ pro všechna n (nebo alespoň pro všechna n větší než nějaká mez), pak platí
i $\lim a\leq \lim b\leq \lim c$ (limity jsou pro n jdoucí k nekonečnu). Proto pokud $\lim a=\lim c$ , je i $\lim b=\lim c$
(méně polopatě bych musel dodat, že to platí jen za předpokladů, že limity pro a a c existují).

Lze tedy počítat lim b, pokud umíme b omezit shora nějakým c a zdola nějakým a tak, že $\lim a=\lim c$ . Neexistuje univerzální postup jak taková a,c hledat, ale většinou stačí nějak zjednodušit b.

Příklad:
Víme, že $-1\leq sin(n!)\leq 1$ , proto $\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2/3}\cdot (-1)}{n+1}\leq \lim_{n\to\infty}\frac{n^{2/3}\cdot \sin(n!)}{n+1}\leq \lim\frac{n^{2/3}_{n\to\infty}\cdot 1}{n+1}$ . Obě krajní limity se rovnají nule, proto i prostřední limita je nulová. Tím jsme vyřešili tvůj třetí příklad.

Ve druhém příkladě můžeš opět použít dva strážníky, zdola odhadnout nulou (tj. a(n)=0) a shora $c(n)=\frac{3^n+n^5}{n!}=\frac{3^n}{n!}+\frac{n^5}{n!}$ . Limita součtu je součet limit, v tomto případě 0+0=0. Horní i dolní odhad naší limity je 0, limita je 0.

111EEEH · 20. 10. 2009 22:16

Ahoj, potřebovala bych poradi s vypočtem teto limity funkce.

Kondr · 20. 10. 2009 22:21

↑ 111EEEH:Jistě $-1\leq cos(1/x)\leq 1$ , proto
$-x\leq x cos(1/x)\leq x$
$\lim_{x\to0}-x\leq \lim_{x\to0}x cos(1/x)\leq \lim_{x\to0}x$
Limity nalevo i napravo jsou 0, proto i prostřední limita je 0.

111EEEH · 21. 10. 2009 00:07

Ahoj, ještě jsem dneska zkoušela počitat limity, ale u těchto se nemužu dopočitat.Takže prosím o pomoc.

Kondr · 21. 10. 2009 01:01

↑ 111EEEH:Co jsi zkoušela a k čemu to vedlo? V prvním a třetím případě to vede na l'Hospitalovo pravidlo. Ve druhém jde argument arccotg k nule, takže výsledek jde k $\pi/2$

111EEEH · 21. 10. 2009 07:00

↑ Kondr:Dekuji

Marian · 21. 10. 2009 07:56 — Editoval Marian (21. 10. 2009 07:56)

↑ Kondr:↑ 111EEEH:

Není pravdou, že první případ vede na l'Hospitalovo pravidlo. Pod limitou je dáno, že $x\to -\infty$ a potom se jedná o výraz typu $\frac{\ln 1}{-\infty}$ . Tedy limita se rovná nule.

Změna by nastala, kdybychom měli počítat limitu pro $x\to +\infty$ . Potom by výsledek byl roven jedné. A připomínám také, že i potom l'Hospitalovo pravidlo není nutné použít. Stačí elementární úvahy.

Matematické Fórum

#1 19. 10. 2009 15:10 — Editoval FabulousDeniska (19. 10. 2009 15:13)

Výpočet limit

#2 19. 10. 2009 17:30 — Editoval lukaszh (19. 10. 2009 17:31)

Re: Výpočet limit

#3 19. 10. 2009 17:55 — Editoval Marian (19. 10. 2009 17:56)

Re: Výpočet limit

#4 19. 10. 2009 17:57 — Editoval Kondr (19. 10. 2009 17:58)

Re: Výpočet limit

#5 20. 10. 2009 22:16

Re: Výpočet limit

#6 20. 10. 2009 22:21

Re: Výpočet limit

#7 21. 10. 2009 00:07

Re: Výpočet limit

#8 21. 10. 2009 01:01

Re: Výpočet limit

#9 21. 10. 2009 07:00

Re: Výpočet limit

#10 21. 10. 2009 07:56 — Editoval Marian (21. 10. 2009 07:56)

Re: Výpočet limit

Zápatí