Matematické Fórum

↑ Meglun:

Hezký den.

V 3D nejde o směrnice přímek, ale o směrové vektory. Pokud jde o řádky matice podle příkladu, tak její řádky neobsahují souřadnice přímek, ale souřadnice směrových vektorů přímek.

Pokud jsem to správně pochopil, tak po vyloučení případu rovnoběžnosti přímek p, q autor sestavil matici ze směrových vektorů přímek p, q (první dva řádky) a ze směrového vektoru přímky procházející body AC (třetí řádek). a táže se na to, zda je uvedená matice singulární nebo ne podle hodnoty jejího determinantu:

Je-li singulární, tak jsou uvedené tři vektory komplanární (leží v jedné rovině; třetí řádek je lineární kombinací prvních dvou). Takže přímky p, q se protnou (když je rovnoběžnost už vyloučena). Jinak by byly p, q nutně rovnoběžné.

Takže podle mě autor použil k řešení trik s doplněním třetího směrového vektoru s tím, že s přehledem využije jako kritérium determinant matice. K tomu ovšem nemusel použít jen přímku AC, ale také přímku AD, BC, BD (můžete si to zkusit), resp. jinou libovolnou přímku spojující body přímek p,q.

Jen pro informaci - matice ve skutečnosti nejsou vektory zapsané do sloupců, ani do řádků. I když to tak na prvné pohled vypadá. Rozdíl je v tom, jak se vektory a matice transformují při změně báze.

Můžeš udělat jenoduchou úvahu třeba u 2D vektorů a matic. A jednoduchou transformaci - otočení.

Zatímco vektory se při otočení souřadné soustavy transformují přenásobením maticé rotace (ve 2D obsahuje jen siny a cosiny úhlu otočení), tak matice (která z jednoho vektoru dělá druhý) se transformuje složitěji. Transformuje se přesně tak, jako by její složky byly "vnějším součinem" dvou vektorů (píšu to do uvozovek, pravývnější součin je něco lehce jiného)


Takže když máš vektory A = (a1, a2) a B(b1, b2), tak složky matice jsou [a1b1, a1b2, a2b1, a2b2]. Z toho lze odvodit, jak se transformuje matice třeba při rotaci.

PS: Asi se to nemusí nutně týkat všech matic, týká se to jen matic-tenzorů, tedy matic, u kterých připadá v úvahu, že s nimi budeme násobit nějaký vektor. Protože má li platit pro nějaké dva vektory a matici vztah

B = M * A

musí platit ve všech možných souřadných soustavách (ve všech bázích).